Al derivar el campo magnético debido a un cable portador de corriente, si elegimos un bucle amperiano circular, podemos afirmar:
$$ \ oint \ vec B \ \ cdot d \ vec s = \ mu_0 \ I $$
Pero debido a simetría del bucle amperiano, y el hecho de que la ruta se recorre en sentido antihorario, podemos afirmar:
$$ \ oint B \ ds = \ mu_0 \ I $$
$$ B \ oint ds = \ mu_0 \ I $$
Sin embargo, no me resulta obvio que el campo magnético sea paralelo a $ d \ vec s $ en todas las sumas continuas. Si $ d \ vec s $ apunta infinitesimalmente a lo largo del bucle amperiano en cada incremento, significa que el campo magnético en cada punto tendrá que apuntar exactamente en la misma dirección.
Sé que el campo magnético alrededor de un cable se enrolla a su alrededor, por lo que tener un bucle amperiano circular podría lograr esto, pero:
Digamos que dibujamos un bucle amperiano de un radio arbitrario. ¿Cómo sabemos que esto se alineará con un bucle de campo magnético del cable portador de corriente para que $ d \ vec B $ y $ d \ vec S $ sigan siendo paralelos?
Quizás esto sea posible, pero puedo o no entender por qué. Si es por eso, lo ilustraré con un gráfico (mal) dibujado que acabo de hacer:
Donde los círculos rojos son líneas de fuerza de campo magnético constante y el círculo negro es el bucle amperiano. A medida que se atraviesa el bucle, con cada elemento de la ruta $ d \ vec S $, ubicado en algún valor $ \ theta $ alrededor del bucle, los vectores de campo magnético de todos los anillos de intensidad del campo magnético serán paralelos a ellos ya que el bucle amperiano es un circulo. Esto explicaría la necesidad de un bucle amperiano alineado de esta manera para que funcione.
Si este no es el caso, aclare cuál es. Si esto tiene algún sentido , algunas preguntas:
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¿Qué sucede si no usamos un bucle amperiano circular? ¿Podríamos encontrar con precisión el campo magnético? Parecería extraño si tuviéramos que elegir la forma de bucle correcta
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¿Cómo sé que $ d \ vec B $ en mi gráfico no es » ¿Va a ser anti-paralelo a $ d \ vec S $ en todos los puntos, en lugar de paralelo?
Respuesta
Lo bueno de la ley de Ampere es que no importa cuál sea la forma del bucle: se mantendrá fiel incluso si eliges una forma divertida bucle (o si su campo magnético es más complicado). Ahora, eso podría hacer que la integración sea increíblemente difícil de hacer, pero no cambia el hecho de que la ley establecida es correcta para cualquier bucle que pueda dibujar. La simplificación que hizo fue posible porque explotó la simetría en esa configuración específica . En la mayoría de las situaciones realistas, no se puede hacer una simplificación exactamente correcta. Es posible que se requiera una aproximación o un enfoque diferente.
Si el campo magnético se opone al sentido en el que atraviesa el bucle, la integral dará un resultado negativo. Esto indica que la corriente es negativa (fluye en la dirección opuesta).
Comentarios
- La pregunta aquí es sobre la recuperación de la campo, lo que no puede hacer con un bucle con forma divertida en el que la corriente no es constante.
Respuesta
Para un cable infinito, sabemos que el campo magnético es circunferencial en todas partes. Otra forma de ver esto es verlo como r simetría otational sobre la circunferencia del alambre. A partir de esto, sabemos que el campo solo cambia con el cambio de distancia desde el cable y nosotros independientemente de la posición angular alrededor del bucle.
Debido a esto, es conveniente elegir un bucle amperiano circular porque el campo es constante en cada punto para que podamos sacar B fuera de la integral en el LHS.
Ahora, la ley de Amper siempre es cierta independientemente de la forma del bucle que elija. Pero si el campo varía alrededor del bucle, entonces debemos evaluar la integral de línea, lo que significa que no podemos usarla fácilmente. como herramienta para encontrar B.
Como la ley de Gauss, es una herramienta muy poderosa pero solo útil para encontrar el campo fácilmente si tenemos algún tipo de simetría.