Esta pregunta puede ser un poco vaga, pero ¿alguien puede darme una prueba de la fórmula de la esfera de Hill? Según wikipedia , la fórmula para el radio, $ r $, es
$$ r \ approx a (1-e) \ left (\ frac {m} {3M} \ right) ^ {1/3} $$
donde un cuerpo de masa $ m $ está orbitando un cuerpo de masa mucho más masivo $ M $ con un semi-eje mayor $ a $ y excentricidad $ e $.
Comentarios
- Mire la introducción en este documento .
- Coloque una masa de prueba entre dos masas, suponga que el origen está en la masa más grande y calcule dónde son iguales las magnitudes de ambas fuerzas.
- @Dave que ‘ es un artículo muy bueno (‘ había planeado hacer algo hoy, pero ahora …) y Estoy seguro de que está ‘ ahí; $ R_H = 3 ^ {- 1/3} $ y » la unidad de longitud se escala por el factor µ $ {} ^ { 1/3} $ » pero no ‘ no veo cómo obtener la (1- e ) en el frente tan fácilmente.
- ¿Porque un (1-e) es periastrón?
- Parece que ‘ han agregado una derivación a la página de wikipedia – curiosamente algo que no se menciona en la página de wikipedia es que esta superficie no es esférica, se refiere a cuando una partícula en el eje se pierde (durante un solo evento al menos – múltiples eventos no resonantes eventualmente quitan todo el material exterior del radio de Hill dejando una esfera)
Respuesta
La esfera de Hill se define de manera ligeramente diferente al lóbulo de Roche , pero el radio se aproxima por la distancia a los puntos de Lagrange L 1 y L 2 .
Para movimiento circular con velocidad angular $ \ omega $ alrededor del origen, tenemos:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ omega ^ 2 \ mathbf {r} $$
La aceleración debida a la gravedad desde una masa puntual sobre otra masa en la posición $ \ mathbf {r} $ viene dado por la ley del cuadrado inverso habitual:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ frac {Gm} { \ left \ | \ mathbf {r} \ right \ | ^ 2} \ hat {\ mathbf {r}} $$
Ahora considere un sistema de dos cuerpos con masas $ m_1 $ y $ m_2 $ , separados por una distancia $ r $ orbitando su centro de masa común (com) a distancias $ r_1 $ y $ r_2 $ respectivamente.
sub > 1 < / sub >
Este es un sistema unidimensional, por lo que podemos cambiar de vectores a escalares. De la definición del centro de masa, tenemos:
$$ r_1 = \ left (\ frac {m_2} {m_1 + m_2} \ right ) r $$ $$ r_2 = \ left (\ frac {m_1} {m_1 + m_2} \ right) r $$
Para la órbita de $ m_2 $ alrededor del centro de masa, equiparar la aceleración gravitacional con la aceleración requerida para el movimiento circular da:
$$ \ omega ^ 2 r_2 = \ frac {G m_1} {r ^ 2} $$
Y luego expresando $ r_2 $ en términos de $ r_1 $ da la tercera ley de Kepler:
$$ \ omega ^ 2 = \ frac {G \ left (m_1 + m_2 \ right)} {r ^ 3} $$
A continuación, encontramos el distancia al punto L 1 , donde las fuerzas gravitacionales del primario y secundario se combinan para proporcionar la aceleración requerida para el movimiento circular.Al equiparar la aceleración del movimiento circular con las fuerzas gravitacionales se obtiene:
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 – h \ right) = \ frac {G m_1 } {\ left (r – h \ right) ^ 2} – \ frac {G m_2} {h ^ 2} $$
Y sustituyendo $ \ omega $ da como resultado:
$$ \ frac {\ left (m_1 + m_2 \ right) \ left (r_2 – h \ derecha)} {r ^ 3} = \ frac {m_1} {\ izquierda (r – h \ derecha) ^ 2} – \ frac {m_2} {h ^ 2} $$
Luego, reescribe esto en términos de la relación de masa $ q = \ frac {m_2} {m_1} $ y la distancia relativa $ z = \ frac {h} {r} $ , dando:
$$ 1 – z \ left (1 + q \ right) = \ left (1 – z \ right) ^ {- 2} – qz ^ {- 2} $$
Esto da como resultado un ecuación quíntica para $ z $ , que debe resolverse numéricamente ya que las quínticas generales no tienen soluciones algebraicas (no soy fingiremos entender la prueba de esto ).
Siempre que estemos en una situación en la que $ m_1 \ gg m_2 $ , que es una buena aproximación para los planetas del Sistema Solar, podemos hacer aproximaciones para evitar resolver la quíntica. En este caso, la esfera Hill es mucho más pequeña que la separación entre los dos objetos, lo que significa que podemos aproximarnos:
$$ \ begin {align} 1 + q & \ approx 1 \\ \ left (1 – z \ right) ^ {- 2} & \ approx 1 + 2z \ end {align} $$
Donde la segunda línea es la aproximación binomial . Esto da:
$$ 1 – z \ approx 1 + 2z – qz ^ {- 2} $$
Reorganizar para resolver $ z $ :
$$ z ^ 3 \ approx \ frac {q} {3} $$
Y luego usando las definiciones de $ z $ y $ q $ esto se convierte en
$$ h \ approx r \ left (\ frac {m_2} {3 m_1} \ right) ^ {1 / 3} $$
Que es la fórmula habitual para el tamaño de la esfera Hill.
Para L 2 , el punto de Lagrange se encuentra más allá del secundario, por lo que la ecuación de fuerza gravitacional y movimiento circular se convierte en:
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 + h «\ right) = \ frac {G m_1} {\ left (r + h» \ right) ^ 2} + \ frac {G m_2} {h «^ 2} $$
Donde $ h «$ es la distancia desde el punto secundario al L 2 .
Sustituir en $ \ o mega $ y reescribir en términos de $ q $ y $ z «= \ frac {h»} { r} $ da:
$$ 1 + z «\ left (1 + q \ right) = \ left (1 + z» \ right ) ^ {- 2} + qz «^ {- 2} $$
Nuevamente, esto da una ecuación quíntica para $ z» $ , pero podemos hacer aproximaciones similares al caso de L 1 :
$$ \ begin {align} 1 + q & \ approx 1 \\ \ left (1 + z «\ right) ^ {- 2} & \ approx 1 – 2z «\ end {alineado} $$
Esto da:
$$ 1 + z» \ approx 1 – 2z » + qz «^ {- 2} $$
Simplificando y sustituyendo las variables nuevamente:
$$ h» \ approx r \ left (\ frac {m_2} {3m_1} \ right) ^ {1/3} $$
Esto funciona para órbitas circulares. Para órbitas excéntricas, el enfoque habitual es simplemente reemplazar la distancia $ r $ con la distancia del pericentro $ a \ left (1 – e \ right) $ donde $ a $ es el semieje mayor. Un enfoque más riguroso sería usar la velocidad angular en el pericentro y derivar de allí, pero lo dejo como ejercicio para el lector interesado 🙂
Comentarios
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+1No ‘ olvide el quod erat demostrandum !
Respuesta
La esfera Hill lleva el nombre de John William Hill (1812–1879) y su lógica simple se sigue de la presencia de tres cuerpos (supongamos que el Sol es la masa más grande con la Tierra como masa secundaria y un satélite de masa insignificante orbitando la Tierra como la tercera masa), donde el radio de la esfera de Hill será el radio más grande en el que un satélite podría orbitar la masa secundaria (la Tierra en este caso). Si su órbita excede el radio de Hills, caerá bajo la influencia gravitacional del primer cuerpo (sol) y por lo tanto ya no será un satélite del cuerpo secundario.
Se podrían escribir las ecuaciones de Newton usando la idea de que el satélite tiene la misma velocidad angular que el objeto secundario.Es decir, la velocidad angular de la Tierra alrededor del sol es igual a la velocidad angular del satélite alrededor del sol. En el siguiente enlace se ofrece una demostración sobre la derivación, así como la del límite de Roche: