La mejor forma de aprender trigonometría

Los esquemas de Schaum son muy prácticos en general y baratos. Se adaptan bien a un alumno mayor. A menudo, las respuestas están justo después de los problemas frente al final. Y obtienes todas las respuestas, no el gyp par / impar. Por lo tanto, adecuado para el autoaprendizaje.

Me gusta este, en general, y lo reconozco: https://www.amazon.com/gp/product/0070026505/ref=dbs_a_def_rwt_hsch_vapi_taft_p1_i10

Es de 1960, por lo que el lenguaje no es arcaico, pero no «nuevo». No estoy seguro de qué beneficio, además del idioma, desea de las versiones más recientes, pero si desea una más nueva, tienen una cuarta edición reciente de College Math que puede obtener.

Tenga en cuenta que este es un cálculo previo general libro (y probablemente lo que necesita). Pero si solo quieres una cartilla de trigonometría, Schaum «s tiene eso también. Obviamente, más problemas de trigonometría en el libro de trigonometría que en el libro de precálculo (que cubre todos los cursos normales de la escuela secundaria).

Ps. Sería más fácil aconsejarle si nos hubiera dicho qué libros le fallaron. ¿Como si escribí una respuesta larga en vano?

Pss No estoy seguro de por qué la trigonometría es un obstáculo para la gente. Pero recomiendo pensar primero en el pecado y el cos y demás en el contexto del círculo unitario, no en las proporciones de los lados de los triángulos. Es solo un concepto un poco más simple y sin una proporción de la que realizar un seguimiento.

https://www.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:trig/x2ec2f6f830c9fb89:unit-circle/v/unit-circle-definition-of-trig-functions-1 (Kahn lo hace un poco más complejo aquí hablando de proporciones. Pero cuando lo aprendí, el gran beneficio fue una primera introducción sin proporciones … solo los ejes xey del círculo unitario.

Comentarios

• ¡Gracias por la respuesta! Y ‘ tienes razón, debería haber mencionado qué libros. Los 3 libros son Trigonometry, quinta edición de Lial, Miller, Hornsby, 1993., Trigonometry Workbook for Dummies de Mary Sterling, y College Trigonometry de Stitz y Zeager, 2013. ‘ comenzaré el precalc en la universidad una vez que termine el verano, y ‘ estoy seguro de que ‘ me sentiré cómodo con la función trigonométrica lo suficientemente pronto. Solo espero aprender lo suficiente en mientras tanto, termino mi primer curso sin demasiados baches en el camino.
• Asegúrese de resolver muchos problemas. Es posible que sienta » que ‘ no lo entiendo «. Pero si trabaja con una gran cantidad de problemas, simplemente se le quedará grabado en la cabeza. Y resolver problemas significa cubrir la respuesta, resolver el problema hasta el final. Comprobando tu respuesta. Repetir (por completo) cualquier problema que se haya perdido desde cero (incluso en el caso de errores de signos tontos) Trátelo como entrenamiento físico para un deporte o como aprender a tocar un instrumento musical. Sea diligente.
• @RustyCore Para ser claro, ‘ me estoy transfiriendo de una universidad local. Lo que me especialicé en la universidad no estaba relacionado con las matemáticas y tenía muy pocos requisitos de matemáticas, por lo que mi primera clase de matemáticas en la universidad fue pre-cálculo.
• @ invitado, lo entiendo. Pero sí creo que Rusty fue presuntuoso y grosero. Soy ‘ plenamente consciente de que obtener este título probablemente será el momento más desafiante y estresante de mi vida, pero no ‘ realmente quiero cerrarme solo porque ‘ estoy teniendo dificultades con un tema. La mayoría de las personas renuncian y dicen que ‘ simplemente no son personas de matemáticas cuando se enfrentan a un obstáculo e inmediatamente se desconectan de las matemáticas adicionales o de los conceptos básicos que necesitan un repaso. ‘ estoy tratando de evitar eso porque hice exactamente eso en años anteriores.
• @Lex_i, suenas como un estudiante maduro, y he tenido muchos estudiantes como tú que sobresale. Espero que sus aventuras en matemáticas le traigan alegría.

¿Quizás un enfoque visual podría complementar su estudio? Hay muchos recursos de este tipo disponibles en la web, no en libros de texto. Por ejemplo, Activar intuitivamente :

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          ^{Nota: las etiquetas muestran a dónde llega cada elemento » . »}

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Otro: Círculo de unidad interactiva . Otro: Funciones de activación inversa .

Comentarios

• it ‘ es un diagrama útil. Agregaría un descargo de responsabilidad de que se está utilizando el concepto de triángulos similares para evitar confusiones.
• Creo que el diagrama sería más útil si mostrara el ángulo y cuáles son todas las funciones en función de . Parece que ‘ está diseñado para recordar lo que ya sabes, no para aprender trigonometría desde cero.
• @JessicaB: Primero, no es mi diagrama: -). En segundo lugar, hay una narrativa que lo acompaña; no está destinado a estar solo. En tercer lugar, me parece útil ver, por ejemplo, que $ \ sin \ le \ tan $ y $ \ sec \ ge \ tan $ y $ \ tan $ pueden ser ilimitados, etc.
• @ JessicaB: PD. El ángulo es el ángulo en el centro del círculo, cuyo círculo es, lamentablemente, casi invisible en mi instantánea.
• @JosephO ‘ Rourke Sé que no ‘ t dibujarlo. Y ahora sé que el ángulo es el que está en el centro, porque sé trig. Pero cuando lo encontré por primera vez, me confundí mucho porque no había ‘ t captado la relación con el ángulo.

Personalmente, preferiría una recomendación de libro de texto que pueda descargar o recoger que [preferiblemente] no sea antigua y no no hacer que la trigonometría sea intimidante para abordar (especialmente una que enfatiza la comprensión de las pruebas detrás de las propiedades / teoremas).

No tengo libros de texto para recomendar, pero puedo recomendar un enfoque para hacer trigonometría que facilite la comprensión matemática de la misma al cristalizar la base lógica de la trigonometría y algebraica de las expresiones trigonométricas. Hay dos «niveles» a esto, dependiendo de si quieres ir directamente a compl ex números o permanecer dentro de la trigonometría real. En cualquier caso, la atención se centra en identificar el intrínseco núcleo de trigonometría y reducir todo lo demás a eso.

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Trigonometría real

Las cantidades clave son $ \ cos (t) $ y $ \ sin (t) $ , que son $ x $ y $ y $ coordenadas del punto $ P_t $ en el círculo unitario que subtiende un arco de longitud $ t $ en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje $ x $ , como se muestra en la imagen de wikipedia :

Aquí la longitud del arco se mide a lo largo del círculo unitario, y $ π $ está definido como la longitud del arco del semicírculo, por lo que $ 2π $ es $ 360 ° $ . (Esta forma de medir ángulos a menudo se llama medirlos en » radianes «, pero personalmente creo que es un término innecesario). ese $ P_t = P_ {t + 2πk} $ para cualquier entero $ k $ , porque $ 2πk $ sería un múltiplo entero de rondas completas. También tenga en cuenta que al aumentar $ t $ se mueve $ P_t $ en sentido antihorario, mientras que se reduce $ t $ mueve $ P_t $ en el sentido de las agujas del reloj. En relación con eso, $ P _ {- t} $ es el reflejo de $ P_t $ en el $ x $ -axis.

Tenga en cuenta que los signos de $ \ cos (t) $ y $ \ sin (t) $ coinciden exactamente con los signos de $ x $ y $ y $ coordenadas del punto en el círculo. (No escuches a las personas que te dicen que memorices algo para determinar cuál de ellos es positivo en qué cuadrante).

Y solo por definición, $ \ cos ( t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2 = 1 $ para cada $ t $ real. Este es el primer hecho algebraico clave .

A continuación, $ \ tan (t) $ está definido como $ \ sin (t) / \ cos (t) $ . (Históricamente, también hemos definido $ \ sec (t): = 1 / \ cos (t) $ y $ \ csc (t): = 1 / \ sin (t) $ y $ \ cot (t): = 1 / \ tan (t) $ , pero, francamente, hay poco beneficio de tener tantos cuando $ \ cos, \ sin $ solo es suficiente.) Siempre que desee simplificar cualquier expresión trigonométrica que involucre $ \ cos, \ sin, \ tan, \ sec, \ csc, \ cot $ , probablemente deberías realizar la técnica matemática estándar de reescribir en forma canónica , que en este caso significa reescribir en términos de $ \ cos, \ sin $ solo, mientras tomando nota de dónde no está definida la expresión original (por ejemplo, $ 1 / \ csc (t) = \ sin (t) $ para cualquier $ t $ solo cuando $ t $ no es un múltiplo de $ π $ ).

Los otros hechos algebraicos clave surgen de considerar matrices de rotación aplicadas a vectores. (Si no está familiarizado con las matrices como operadores en vectores, lea esto primero. Para obtener una introducción a los vectores en el espacio euclidiano, consulte aquí .) Sea $ R $ cualquier rotación sobre el origen en el plano. Entonces $ R $ satisface tres propiedades:

1. $ R (u + v) = R (u) + R (v) $ para cualquier vector $ u, v $ (es decir, sumar dos vectores y luego rotar el resultado da lo mismo que rotar los dos vectores primero antes de sumarlos).
2. Si $ R, S $ son rotaciones de ángulos en sentido antihorario $ t, u $ respectivamente, luego $ R∘S $ es una rotación en sentido antihorario del ángulo $ t + u $ .
3. Si $ R $ es una rotación en sentido antihorario del ángulo $ t $ , luego:
   a. $ R (⟨x, 0⟩) = ⟨x · \ cos (t), x · \ sin (t)⟩ $ para cualquier $ x $ .
   b. $ R (⟨0, y⟩) = ⟨-y · \ sin (t), y · \ cos (t)⟩ $ para cualquier $ y $ .

Podemos tomar estas propiedades como axiomas (suposiciones) sobre rotaciones. Después de todo, si $ R $ no los satisface, entonces no llamaríamos a $ R $ una rotación para empezar con. Para ver por qué, la propiedad (1) captura la intuición de que la rotación de dos varillas conectadas hará girar ambas varillas en el ángulo de rotación mientras se preserva el lugar donde se conectan. La propiedad (2) solo se necesita junto con la propiedad (3). La propiedad (3a) se deriva de la definición de $ \ cos, \ sin $ , y la propiedad (3b) se deriva de la misma definición rotada $ 90 ° $ en sentido antihorario.

Las propiedades (1) y (3) producen la forma matricial de una rotación 2d:

Si $ R $ es una rotación en sentido antihorario del ángulo $ t $ , luego $ R = \ small \ pmatrix {\ cos (t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} $ .

Y luego usando la propiedad (2) obtener:

$ \ small \ pmatrix {\ cos (t + u) & – \ sin (t + u) \\ \ sin (t + u) & \ cos (t + u)} = \ pmatrix {\ cos ( t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} \ pmatrix {\ cos (u) & – \ sin (u) \\ \ sin (u) & \ cos (u)} $ para cualquier real $ t, u $ .

Al multiplicar el producto matricial de la derecha y compararlo con la matriz de la izquierda se obtiene inmediatamente el ángulo- sumar identidades:

$ \ cos (t + u) = \ cos (t) · \ cos ( u) – \ sin (t) · \ sin (u) $ para cualquier valor real $ t, u $ .

$ \ sin (t + u) = \ cos (t) · \ sin (u) + \ sin (t) · \ cos (u) $ para cualquier real $ t, u $ .

Siempre que desee simplificar expresiones que involucren funciones trigonométricas en sumas de ángulos, debería considerar el uso de estas identidades para reducir la expresión en términos de $ \ cos, \ sin $ de la menor cantidad de ángulos posible.

De hecho, todos los valores trigonométricos Las dentidades que involucran solo operaciones aritméticas y funciones trigonométricas se pueden probar usando solo las definiciones anteriores y los hechos algebraicos clave. Curiosamente, incluso las propiedades de simetría pueden probarse algebraicamente de la siguiente manera.

Dado cualquier $ t $ real:

$ 1 = \ cos (t + (- t)) = \ cos (t) · \ cos (-t) – \ sin (t) · \ sin (-t) $ . [suma de ángulos]

$ 0 = \ sin (t + (- t)) = \ cos (t) · \ sin (-t) + \ sin ( t) · \ cos (-t) $ . [suma de ángulos]

$ \ cos (t) = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (-t) – (\ cos (t) · \ Sin (-t)) · \ sin (t) $

$ = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (- t) + (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ sin (t) $

$ = (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) · \ cos (-t) $

$ = \ cos (-t ) $ .

$ \ sin (t) = (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ cos (t ) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – (\ cos (t) · \ sin (-t)) · \ cos (t) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – \ sin (-t) · (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) $

$ = – \ sin (-t) $ .

Pasando al análisis real, necesitaríamos los siguientes hechos, que pueden tomarse como axiomas por ahora (y justificarse por separado más adelante):

1. $ \ sin «= \ cos $ .
2. $ \ cos «= – \ sin $ .

Como antes, todo ca n reducirse a estos, por lo que no hay necesidad real de memorizar nada más (aunque puede ser conveniente hacerlo).

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Trigonometría compleja

Personalmente, Creo que es mejor ir directamente a las funciones trigonométricas de valores complejos, si se desea una base completa y rigurosa para el campo matemático del análisis . Uno simplemente define: $ \ def \ rr {\ mathbb {R}} \ def \ cc {\ mathbb {C}} \ def \ lfrac # 1 # 2 {{\ large \ frac {# 1} {# 2}}} $

$ \ exp (z ): = \ sum_ {k = 0} ^ ∞ \ lfrac {z ^ k} {k!} $ para cada $ z $ complejo (después demostrando que la suma converge).

$ \ cos (z): = \ lfrac {\ exp (iz) + \ exp (-iz)} {2} $ .

$ \ sin (z): = \ lfrac {\ exp (iz) – \ exp (-iz)} {2i} $ .

$ π $ es el doble de la primera raíz positiva de $ \ cos $ ( después de probar que existe).

La motivación es que queremos $ \ exp: \ cc → \ cc $ tal que $ \ exp «= \ exp $ y $ \ exp (0) = 1 $ , para poder resolver ecuaciones diferenciales lineales generales, y queremos $ \ cos, \ sin: \ rr → \ rr $ tal que $ \ cos «» = – \ cos $ y $ \ sin «» = – \ sin $ y $ ⟨\ cos (0), \ cos «(0)⟩ = ⟨1,0⟩ $ y $ ⟨\ sin (0 ), \ sin «(0)⟩ = ⟨0,1⟩ $ , para poder resolver movimiento armónico simple, y la expansión de Taylor nos lleva a las definiciones anteriores para $ \ exp, \ cos, \ sin $ , que podemos demostrar que convergen en todo el plano complejo. La definición anterior de $ π $ es la más fácil que conozco y que no depende de ninguna geometría. (Para obtener más detalles sobre esta motivación, consulte esta publicación ).

Basta decir que con estas definiciones, podemos probar mediante un análisis básico que $ \ exp, \ cos, \ sin $ satisfaga las propiedades de motivación deseadas, así como otra propiedad clave de $ \ exp $ :

$ \ exp (z + w) = \ exp (z) · \ exp (w) $ para cualquier $ z complejo, w $ .

Usando esta propiedad, podemos probar todas las identidades trigonométricas a través de la manipulación algebraica solamente (y son válidas para variables complejas y no solo variables reales).

Por ejemplo, dado cualquier $ z $ complejo:

$ \ cos (z) ^ 2 + \ sin (z) ^ 2 = \ lfrac {(\ exp (iz) + \ exp (-iz)) ^ 2} {4} – \ lfrac {(\ exp (iz) – \ exp (-iz)) ^ 2} {4} $

$ = \ exp (iz) · \ exp (-iz) = \ exp (0) = 1 $ .

Sin embargo, a menudo es aún más fácil primero probar los mismos hechos algebraicos clave para $ \ cos, \ sin $ y luego usarlos para probar otras identidades, en lugar de reducir todo a $ \ exp $ .

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