De varias fuentes en línea leí que $$ E \ propto A ^ 2 $$ pero cuando mencioné esto en clase, mi maestro me dijo que estaba equivocado y que, en cambio, era directamente proporcional a la amplitud.
Hasta donde yo sé, todos los sitios web con los que me topé con respecto a esto dijeron que ese es el caso. Mi profesor tiene un doctorado y parece bastante experimentado, así que no veo por qué cometería un error, ¿hay casos en los que $ E \ propto A $?
También vi esta derivación:
$$ \ int_0 ^ A {F (x) dx} = \ int_0 ^ A {kx dx} = \ frac {1} {2} kA ^ 2 $$
ubicado aquí , ¿a alguien le importaría explicarlo con un poco más de detalle? Tengo una comprensión básica de lo que es una integral, pero no estoy seguro de qué es el póster en el estaba diciendo el enlace. Sé que hay una explicación bastante buena aquí , pero parece demasiado avanzado para mí (me di por vencido una vez que vi derivadas parciales, pero veo que son básicamente lo mismo más adelante). El primero que vinculé parece algo que podría entender.
Comentarios
- Estás haciendo las preguntas correctas y pensando de la manera correcta. Olvídese del doctorado y en su lugar pídale a su profesor que le explique en detalle por qué piensa que $ E \ propto A $. Galileo tenía algo apropiado que decir aquí: " … la autoridad de mil no vale el humilde razonamiento de un solo individuo ". Las energías en sistemas lineales son funciones cuadráticas de coordenadas generalizadas, como en Kyle ' respuesta .
Respuesta
El póster de ese enlace dice que el trabajo realizado por el manantial (esa es la ley de Hooke: $ F = -kx $) es igual a la energía potencial (PE) en el desplazamiento máximo, $ A $; este PE proviene de la energía cinética (KE) y es igual a la integral de la ley de Hooke en el rango 0 (desplazamiento mínimo) a $ A $ (desplazamiento máximo).
De todos modos, tu profesor está equivocado. La energía total en una onda proviene de la suma de los cambios en la energía potencial, $$ \ Delta U = \ frac12 \ left (\ Delta m \ right) \ omega ^ 2y ^ 2, \ tag { PE} $$ y en energía cinética, $$ \ Delta K = \ frac12 \ left (\ Delta m \ right) v ^ 2 \ tag {KE} $$ donde $ \ Delta m $ es el cambio en masa. Si suponga que la densidad de la onda es uniforme, entonces $ \ Delta m = \ mu \ Delta x $ donde $ \ mu $ es la densidad lineal. Por lo tanto, la energía total es $$ E = \ Delta U + \ Delta K = \ frac12 \ omega ^ 2y ^ 2 \, \ mu \ Delta x + \ frac12v ^ 2 \, \ mu \ Delta x $$ As $ y = A \ sin \ left (kx- \ omega t \ right) $ y $ v = A \ omega \ cos (kx- \ omega t) $, entonces la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud: $$ E \ propto \ omega ^ 2 A ^ 2 $$
Comentarios
- Esto probablemente esté fácilmente disponible en algún lugar de wikipedia o algo así, pero ¿puedo preguntar a dónde va el PE? ¿Cuál es la ecuación que enumeraste?
- @ D.W .: Lo siento por la respuesta tardía, puedes verla en este sitio de hiperfísica . Puede usar el hecho de que $ U \ sim kx ^ 2 \ sim m \ omega ^ 2x ^ 2 $ y el cambio en $ U $ estaría asociado con un cambio de masa en la onda, $ \ Delta m \ sim \ mu \ Delta x $ (con $ \ mu $ la densidad lineal).