Layman ' s explicación y comprensión de las ' ecuaciones de campo

Las ecuaciones de Einstein pueden resumirse vagamente como la relación principal entre la materia y la geometría del espacio-tiempo . Intentaré dar una descripción cualitativa de lo que significa cada término de la ecuación. Sin embargo, tendré que advertir a los posibles lectores que esta no será una respuesta breve. Además, abstenerse de tratar de derivar las ecuaciones de » elementary » manera, ya que ciertamente no conozco ninguna.

Materia

En el lado derecho de la ecuación ción, lo más importante es la aparición del tensor de energía-momento $ T _ {\ mu \ nu} $ . Codifica exactamente cómo la materia, entendida en un sentido amplio, es decir, cualquier medio portador de energía (o masa, momento o presión), se distribuye en el universo. Para comprender cómo interpretar los índices de subíndice del $ T $ , vea mi explicación del tensor métrico a continuación.

Se multiplica por algunos constantes de la naturaleza $ \ Big ($ el factor $ \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} \ Big ) $ pero esto no es de importancia crucial: uno puede verlos como herramientas de contabilidad que mantienen un registro de las unidades de las cantidades que están relacionadas por la ecuación. De hecho, los físicos profesionales generalmente se toman la libertad redefinir nuestras unidades de medida para simplificar el aspecto de nuestras expresiones eliminando constantes molestas como esta. Una opción particular sería elegir » unidades de Planck reducidas «, en el que $ 8 \ pi G = 1 $ y $ c = 1 $ , de modo que el factor se convierta en $ 1 $ .

Diferencial g eometría

En el lado izquierdo de las ecuaciones de Einstein, encontramos algunos términos diferentes, que juntos describen la geometría del espacio-tiempo. La relatividad general es una teoría que utiliza el marco matemático conocido como geometría (semi) riemanniana . En esta rama de las matemáticas, se estudian espacios que en cierto sentido son suaves , y que están equipados con una métrica . Primero tratemos de entender qué significan estas dos cosas.

La propiedad de suavidad se puede ilustrar con el ejemplo intuitivo (¡e históricamente importante!) De una superficie suave (bidimensional) en un espacio tridimensional ordinario. . Imagine, por ejemplo, la superficie de una pelota de fútbol idealizada, es decir, una esfera de 2. Ahora, si uno enfoca su atención en un parche muy pequeño de la superficie (sostenga la pelota hacia su propia cara), parece que la pelota es bastante plana. Sin embargo, obviamente no es globalmente plano. Sin tener en cuenta el rigor matemático, podemos decir que los espacios que tienen esta propiedad de aparecer localmente planos son suaves en cierto sentido. Matemáticamente, uno los llama múltiples. Por supuesto, una superficie globalmente plana como una hoja de papel infinita es el ejemplo más simple de tal espacio.

En la geometría riemanniana (y geometría diferencial más generalmente) se estudian tales espacios lisos (múltiples) de dimensión arbitraria. Una cosa importante a tener en cuenta es que se pueden estudiar sin imaginar que estén incrustados en un espacio de mayor dimensión, es decir, sin la visualización que pudimos usar con el balón de fútbol, o cualquier otra referencia a lo que puede o no estar » fuera » del propio espacio.Se dice que uno puede estudiarlos, y su geometría, intrínsecamente .

La métrica

Cuando se trata de estudiar intrínsecamente la geometría de variedades, la principal El objeto de estudio es la métrica (tensor). Los físicos normalmente lo denotan por $ g _ {\ mu \ nu} $ . En cierto sentido, nos dota de una noción de distancia en la variedad. Considere una variedad bidimensional con métrica y coloque una » cuadrícula de coordenadas » en ella, es decir, asigne a cada punto un conjunto de dos números, $ (x, y) $ . Luego, la métrica puede verse como una matriz $ 2 \ times 2 $ con $ 2 ^ 2 = 4 $ entradas. Estas entradas están etiquetadas con los subíndices $ \ mu, \ nu $ , que se pueden elegir para que sean iguales a $ x $ o $ y $ . La métrica se puede entender simplemente como una matriz de números:

$$ \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {yx} & g_ {yy} \ end {pmatrix} $$

También deberíamos digamos que la métrica está definida de manera que $ g _ {\ mu \ nu} = g _ {\ nu \ mu} $ , es decir, es simétrica con respecto a sus índices. Esto implica que, en nuestro ejemplo, $ g_ {xy} = g_ {yx} $ . Ahora, considere dos puntos que están cerca, de manera que la diferencia en coordenadas entre los dos es $ (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y) \;. $ Podemos denotar esto en notación abreviada como $ \ mathrm {d} l ^ \ mu $ donde $ \ mu $ es $ x $ o $ y \;, $ y $ \ mathrm {d} l ^ x = \ mathrm {d} x $ y $ \ mathrm {d} l ^ y = \ mathrm {d} y \;. $ Luego definimos el cuadrado de la distancia entre los dos puntos, llamado $ \ mathrm {d} s \;, $ como

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = g_ {xx} \ mathrm {d} x ^ 2 + g_ {yy} \ mathrm { d} y ^ 2 + 2 g_ {xy} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $$

Para tener una idea de cómo funciona esto en la práctica, veamos un dos infinito- espacio plano dimensional (es decir, el hoja de papel mencionada anteriormente), con dos » estándar » coordenadas de plano $ x, y $ definido en él por una cuadrícula cuadrada. Entonces, todos sabemos por el «teorema de Pitágoras que

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = \ mathrm {d} x ^ 2 + \ mathrm { d} y ^ 2 = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $ $

Esto muestra que, en este caso, la métrica natural en un espacio bidimensional plano viene dada por

$ $ g _ {\ mu \ nu} = \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {xy} & g_ {yy} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end { pmatrix} $$

Ahora que sabemos cómo » medir » distancias entre puntos cercanos , podemos usar una técnica típica de la física básica e integrar pequeños segmentos para obtener la distancia entre puntos que se eliminan aún más:

$ $ L = \ int \ mathrm {d} s = \ int \ sqrt {\ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu} $$

El ge La neralización a dimensiones superiores es sencilla.

Tensores de curvatura

Como intenté argumentar en lo anterior, el tensor métrico define la geometría de nuestra variedad (o espacio-tiempo, en el caso físico) . En particular, deberíamos poder extraer toda la información relevante sobre la curvatura del colector de él. Esto se hace construyendo el tensor de Riemann (curvatura) $ R ^ {\ mu} _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} $ , que es un objeto muy complicado que, en analogía con la visualización de matriz de la métrica, puede considerarse como una matriz de cuatro dimensiones, y cada índice puede asumir $ N $ valores si hay $ N $ coordenadas $ \ { x ^ 1, \ dots x ^ N \} $ en el colector (es decir, si estamos tratando con un $ N $ -espacio dimensional). Se define puramente en términos de la métrica de una manera complicada que no es demasiado importante por ahora.Este tensor contiene prácticamente toda la información sobre la curvatura de la variedad, y mucho más de lo que los físicos normalmente nos interesan. Sin embargo, a veces es útil echar un buen vistazo al tensor de Riemann si uno realmente quiere saber qué está pasando.Por ejemplo, un tensor de Riemann que desaparece en todas partes ( $ R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} = 0 $ ) garantiza que el espacio-tiempo es plano. Un caso famoso en el que algo así es útil es el de la métrica de Schwarzschild que describe un agujero negro, que parece ser singular en el radio de Schwarzschild $ r = r_s \ neq 0 $ . Tras la inspección del tensor de Riemann, se hace evidente que la curvatura es realmente finita aquí, por lo que se trata de una singularidad de coordenadas en lugar de una » real » singularidad gravitacional.

Tomando ciertas » partes de » el tensor de Riemann, podemos descartar parte de la información que contiene a cambio de tener que tratar solo con un objeto más simple, el tensor de Ricci:

$$ R_ { \ nu \ sigma}: = \ sum _ {\ mu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ mu \ sigma} $$

Este es uno de los tensores que aparece en las ecuaciones de campo de Einstein. el segundo término de las ecuaciones presenta el escalar $ R $ de Ricci, que se define una vez más contratando ( una palabra elegante para » sumando todos los valores de índice posibles de algunos índices «) el tensor de Ricci, esta vez con el inverso métrica $ g ^ {\ mu \ nu} $ que se puede construir a partir de la métrica habitual mediante la ecuación

$$ \ sum _ {\ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots, x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} g _ {\ nu \ rho} = 1 \ \ text {if} \ mu = \ rho \ \ text {y} 0 \ \ text {de lo contrario} $$

Como se prometió, el escalar de Ricci es la contracción del tensor de Ricci y el inverso métrica:

$$ R: = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu} $$

Por supuesto, el escalar de Ricci una vez más contiene menos información que el tensor de Ricci, pero es aún más fácil de manejar. . Simplemente multiplíquelo por $ g _ {\ mu \ nu} $ una vez más da como resultado una matriz bidimensional, como $ R _ {\ mu \ nu} $ y $ T _ {\ mu \ nu} $ son. La combinación particular de tensores de curvatura que aparece en las ecuaciones de campo de Einstein se conoce como tensor de Einstein

$$ G _ {\ mu \ nu}: = R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} R g _ {\ mu \ nu} $$

La constante cosmológica

Hay un término que hemos omitido hasta ahora: el término constante cosmológica $ \ Lambda g _ {\ mu \ nu} $ . Como sugiere el nombre, $ \ Lambda $ es simplemente una constante que multiplica la métrica. Este término a veces se coloca en el otro lado de la ecuación, ya que $ \ Lambda $ puede verse como una especie de » contenido de energía » del universo, que puede agruparse de manera más apropiada con el resto de la materia codificada por $ T _ {\ mu \ nu} $ .

La constante cosmológica es principalmente de interés porque proporciona una posible explicación para la (in) famosa energía oscura que parece dar cuenta de ciertos importantes observaciones cosmológicas. Si la constante cosmológica es realmente distinta de cero en nuestro universo es un tema abierto, como lo es explicar el valor que sugieren las observaciones (el llamado problema de la constante cosmológica también conocido como » la peor predicción de la física teórica jamás hecha «, uno de mis intereses personales).

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PS. Como se señaló en los comentarios, si le gustó esto, también puede disfrutar leyendo esta pregunta y las respuestas, que se refieren a esa otra importante ecuación de la relatividad general, que describe el movimiento de » partículas de prueba » en espaciotiempos curvos.

La ecuación de Einstein relaciona el contenido de materia (lado derecho de la ecuación) con la geometría (lado izquierdo) del sistema. Se puede resumir con «la masa crea geometría y la geometría actúa como masa».

Para más detalles, consideremos qué es un tensor. Un tensor de dos índices (que es lo que tenemos en la ecuación de Einstein) se puede considerar como un mapa que toma un vector en otro vector. Por ejemplo, el tensor de tensión-energía toma un vector de posición y devuelve un vector de momento (matemáticamente, $ p _ {\ nu} = T _ {\ nu \ mu} x ^ {\ mu} $, y estoy mezclando vectores y covectores por todas partes para simplificar la discusión). La interpretación es que el lado derecho de la ecuación de Einstein nos dice el momento que pasa a través de una superficie definida por el vector de posición.

El lado izquierdo también se puede interpretar de esta manera. La curvatura de Ricci $ R _ {\ mu \ nu} $ toma un vector de posición y devuelve un vector que nos dice cuánto cambia la curvatura a través de la superficie definida por $ \ vec {x} $. El segundo y tercer términos, ambos con factores de la métrica $ g _ {\ mu \ nu} $, nos dicen cuánto cambian las medidas de distancia cuando se viaja a lo largo del vector. Hay dos contribuciones a este cambio en la distancia: la curvatura escalar $ R $ y $ \ Lambda $. Si $ R _ {\ mu \ nu} $ es «curvatura en una sola dirección», entonces $ R $ es la «curvatura total». $ \ Lambda $ es una constante que nos dice cuánta energía innata tiene el espacio vacío, lo que hace que todas las distancias sean más grandes para $ \ Lambda > 0 $.

Entonces , leyendo la ecuación de derecha a izquierda, la ecuación de «Einstein» nos dice que el momento (masa en movimiento) causa tanto la curvatura como un cambio en la forma en que se miden las distancias «. la distancia actúa como una masa en movimiento. «

Comentarios

• Wow – gran explicación simplificada.
• @levitopher Por qué ‘ s llamado » estrés » en estrés-energía?
• estaba bien: en.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics)

Derivación paso a paso de las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) en mi blog: http://www.thespectrumofriemannium.com/2013/05/24/log105-einsteins-equations/

Significado de EFE (por Wheeler): «El espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse, la materia-energía le dice al espacio-tiempo cómo curvarse»

Palabras simples para EFE: «Geometría» = «Curvatura» (la ausencia de torsión en Relatividad General implica que la energía-momento es simétrica, como muestra el caso de la métrica, el tensor de Ricci y el tensor de Einstein).

Un significado más serio es el siguiente:

-Lado izquierdo: El tensor de Einstein está formado por dos (tres si se cuenta el término cosmológico). Miden la curvatura causada por una métrica del espacio-tiempo local que no es constante (la métrica de Minkowski es un espacio-tiempo plano, la gravedad activada implica que la métrica es un campo, es decir, que depende de las coordenadas locales del espacio-tiempo) e implica una curvatura local. medido por el escalar de curvatura y el tensor de Ricci, que combinados de la forma en que lo hicieron Einstein (y Hilbert), proporciona una corriente sin divergencia (es decir, conservación de la energía-momento al igualar al lado derecho).

-Lado diestro: energía-momento de los campos, lo que hace que el espacio-tiempo se deforme / curva / doblez. Puede agregar a este lado el término cosmológico, luego apodado energía oscura … Da como resultado que la energía oscura es de alguna manera (con cierto cuidado) la energía del espacio-tiempo del vacío. Y creemos que no solo es distinto de cero, sino el principal ingrediente cósmico que genera la materia-energía en este momento (alrededor del 70%, los satélites WMAP + PLANCK parecen estar de acuerdo con esto …).