¿Es posible usar la ley del electromagnetismo de Gauss? (El flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a $ 1⁄ \ epsilon $ veces la carga eléctrica neta encerrada dentro de esa superficie.) para calcular el campo gravitacional en el punto haciendo ciertos cambios, es decir, reemplazando el flujo eléctrico con el flujo gravitacional, $ 1⁄ \ epsilon $ con $ 1 / (4 \ pi \, G) $, y cargar con masa?
Comentarios
- Ver, por ejemplo, Wikipedia .
Respuesta
Sí, puede usar la ley de Gauss para la gravedad.
$$ \ nabla \ cdot \ vec {g} = 4 \ pi \, G \, \ rho $$
o
$$ \ oint \ vec {g} \ cdot \ mathrm {d} \ vec {a} = 4 \ pi \, G \, M_ \ mathrm {enc} $$
donde $ \ vec {g} $ es el campo gravitacional (equivalente, aceleración debido a la gravedad), $ \ rho $ es la densidad de masa, y $ M_ \ mathrm {enc} $ es la masa total encerrada por la superficie gaussiana.
Cuando haces la comparación n según la ley de Gauss para campos eléctricos, puedes ver cómo funcionan las constantes de la forma en que lo hacen:
$$ E = \ frac {1} {4 \ pi \, \ epsilon_0} \ frac {Q} {r ^ 2}, \ quad \ quad g = G \, \ frac {M} {r ^ 2}, $$
entonces $ 1 / \ epsilon_0 \ rightarrow 4 \ pi \ , G $.
Un uso común de la ley de la gravedad de Gauss es determinar la intensidad del campo gravitacional a una profundidad dada dentro de la Tierra. Es muy similar al cálculo del campo eléctrico dentro de una esfera aislante cargada.
Comentarios
- En mi publicación original arruiné las constantes … fijo
- De hecho, la estrecha coincidencia entre el flujo del campo en el tratamiento de ' de Einstein y Newton ' s para un campo débil esféricamente simétrico se puede demostrar usando este ' enfoque de la ley de Gauss.
Respuesta
La ley de Gauss para la gravedad básicamente dice que el flujo gravitacional total que emana de una esfera que encierra la Tierra es $ 4 \ pi GM $ .
Ahora divida esto por la superficie total de la esfera $ 4 \ pi R ^ 2 $ con $ R $ el radio de la Tierra.
El resultado es $ \ frac {GM} {R ^ 2} $ dando el flujo gravitacional densidad. Si calcula el resultado numérico, obtiene $ 9.81 \ mathrm {m / s ^ 2} $ .