Máximo de tirachinas gravitacional

Se puede obtener una estimación de orden de magnitud de la velocidad máxima alcanzable por tirachinas gravitacionales sin hacer ningún cálculo real.

El razonamiento de la «física aproximada» es el siguiente:

El campo gravitacional de los planetas utilizados para los tirachinas debe ser lo suficientemente fuerte como para «agarrar» la veloz nave espacial. Como un planeta no puede «agarrar» naves espaciales que se mueven más rápido que la velocidad de escape del planeta, es imposible lanzar una nave espacial a velocidades más allá de las velocidades de escape planetarias.

Así que no importa con qué frecuencia nuestros sistemas solares Los planetas del sistema se alinean y no importa la frecuencia con la que consigas realizar una honda gravitacional perfecta, estás prácticamente limitado a velocidades que no excedan aproximadamente la velocidad máxima de escape en el sistema solar (es decir, 80 km / so 0.027% de la velocidad de la luz , la velocidad de escape de Júpiter).

(Nota: al trabajar con trayectorias bien definidas, se puede refinar el argumento anterior y obtener todos los factores numéricos correctos).

Comentarios

• Tendría que estar en desacuerdo contigo. Si encontrara un cuerpo celeste desde el ángulo recto, aún podría ganar su velocidad orbital una vez cuando tendría una excentricidad de 1.4142, lo que significa que excede la velocidad de escape. ¿O se refiere a que la velocidad en exceso hiperbólica es igual a la velocidad de escape (lo que significaría una excentricidad de 3), pero esto aún permitiría una ganancia de aproximadamente el 40% de la velocidad orbital. Disminuye, pero creo que sigue siendo significativo.
• @fibonatic – ¿Está discutiendo sobre factores $ 1.4 $ en un orden de magnitud estimado?
• 1.4 no es un orden de magnitud menor

Cuanto más rápido vaya, menos velocidad teóricamente puede ganar con una asistencia de gravedad.

La razón de esto es que cuanto más rápido vas, más difícil es doblar la órbita. Para probar esto, tenemos que usar la aproximación de cónicas parcheadas , lo que significa que dentro de una esfera órbitas de Kepler se puede utilizar. La esfera se puede simplificar para que sea infinitamente grande, ya que la flexión de la cónica parcheada real apenas se verá afectada por esto. Si bien la excentricidad es baja (igual o mayor que uno, ya que tendrá que ser una trayectoria de escape) la trayectoria podrá doblarse 360 ° invirtiendo efectivamente la velocidad relativa de la nave espacial con el cuerpo celeste, por lo que el cambio en La velocidad sería el doble de esa velocidad relativa, que también es la ganancia máxima teórica. Cuando la excentricidad aumenta, este ángulo disminuye. Este ángulo se puede derivar de la siguiente ecuación:

$$ r = \ frac {a (1-e) ^ 2} {1 + e \ cos (\ theta)} $$

donde $ r $ es la distancia desde la nave espacial al centro de masa del cuerpo celeste, $ a $ es el semi-eje mayor, $ e $ es la excentricidad y $ \ theta $ es la anomalía verdadera.El semieje mayor y la excentricidad deben permanecer constantes durante la trayectoria, por lo que el radio solo sería una función de la anomalía verdadera, que por definición es igual a cero en la periapsis y, por lo tanto, la cantidad máxima de flexión será aproximadamente el doble de la anomalía verdadera en $ r = \ infty $, lo que significa

$$ \ theta _ {\ infty} = \ lim_ {r \ to \ infty} \ cos ^ {- 1} \ left (\ frac {a (1 -e) ^ 2-r} {er} \ right) = \ cos ^ {- 1} (- e ^ {- 1}) $$

Cuando la excentricidad sea realmente alta, este ángulo se volverá 180 °, lo que significa que la trayectoria es básicamente una línea recta.

Existen múltiples formas de alterar la excentricidad. En este caso, las variables relevantes serían:

• La exceso de velocidad hiperbólico , $ v_ \ infty $, que será igual a la velocidad relativa a la que la nave espacial «encuentra» el cuerpo celeste, con esto quiero decir que la esfera de los cuerpos celestes es muy pequeña en comparación con la escala de las órbitas de los cuerpos celestes alrededor del sol, por lo que la velocidad relativa puede ser aproximada con la diferencia de velocidad orbital relativa al sol, aproximada con una órbita de Kepler en un encuentro entre los dos cuando se usa una trayectoria ignorando la interacción entre ellos.
• La altura de la periapsis , $ r_p $, que está básicamente limitado por el radio del cuerpo celeste (superficie o atmósfera exterior).
• El parámetro gravitacional del cuerpo celeste, $ \ mu $.

$$ e = \ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} + 1 $$

El parámetro gravitacional es solo un dato para como cuerpo celeste específico, ya que es deseable una excentricidad menor, por lo tanto, la periapsis debe establecerse en su límite inferior, el radio del cuerpo celeste. De esta manera, la excentricidad es solo una función del exceso de velocidad hiperbólica y, por lo tanto, de la velocidad relativa de la nave espacial con el cuerpo celeste.

Usando un poco más de matemáticas, se puede mostrar cuál sería el cambio en la velocidad después una asistencia de gravedad tan cercana. Para esto utilizo un sistema de coordenadas con un vector unitario paralelo a la dirección de la velocidad de encuentro relativa, $ \ vec {e} _ {\ paralelo} $, y un vector unitario perpendicular, $ \ vec {e} _ {\ perp } $:

$$ \ Delta \ vec {v} = -v_ \ infty \ left (\ left (\ cos {\ left (2 \ theta_ \ infty \ right)} + 1 \ right) \ vec {e} _ {\ paralelo} + \ sin {\ left (2 \ theta_ \ infty \ right)} \ vec {e} _ {\ perp} \ right) = \ frac {2 {\ | \ vec { v} _ \ infty \ |}} {\ left (\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} + 1 \ right) ^ 2} \ left (\ sqrt {\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2 } {\ mu} \ left (\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} +2 \ right)} \ vec {e} _ {\ perp} – \ vec {e} _ {\ paralelo} \ derecha) $$

$$ {\ | \ Delta \ vec {v} \ |} = \ frac {2 \ mu v_ \ infty} {r_p v_ \ infty ^ 2 + \ mu} $$

Al trazar estos valores para la Tierra, entonces $ \ mu = 3.986004 \ times 10 ^ {14} \ frac {m ^ 3} {s ^ 2} $ y $ r_p = 6.381 \ times 10 ^ { 6} m $ (utilicé el radio ecuatorial más la altitud a la que se puede despreciar el efecto atmosférico, 300 km), obtendría los siguientes resultados:

Si quieres A una velocidad lo más alta posible, entonces desea que este cambio en la velocidad sea en la dirección de su velocidad alrededor del sol. Si tiene suficiente tiempo y la órbita es lo suficientemente excéntrica como para cruzar múltiples órbitas de cuerpos celestes, entonces hay muchas posibilidades, pero tan pronto como tiene una trayectoria de escape del sol, básicamente pasa por cada cuerpo celeste como máximo uno más. tiempo.

Si solo desea obtener la mayor velocidad posible, es posible que desee acercarse al sol en una órbita muy excéntrica, ya que su «superficie» velocidad de escape es $ 617.7 \ frac {km} {s} $.

Comentarios

• Hola, fibonatic, gracias por la respuesta . He actualizado la pregunta con datos adicionales, ya que tengo entendido que solo necesita el radio del planeta, el peso y la velocidad inicial para hacer el cálculo, si necesita más datos, avíseme que se los obtendré.
• Entonces honda gravitacional máxima que podríamos obtener sería de 0.002 de velocidad de la luz google.co.uk/… , lo que nos llevaría 2000 años para llegar a Alpha Centauri google.co.uk/… Gracias por la excelente respuesta.
• @MatasVaitkevicius No, ya que a 0.002 c cerca de la superficie del sol tendrías una velocidad de cero infinitamente lejos del sol, o al pasar la órbita de Neptuno habrías ralentizado a 7.7km / s.

Todos están pensando demasiado en esto. El efecto tirachinas tiene que ver con el marco de referencia. En relación con el cuerpo al que se está acercando, el aumento de la velocidad de entrada debe ser igual a la disminución de la velocidad de salida o violará las leyes simples de la física (es decir, la gravitación). Desde la perspectiva del sistema solar , tendrá una ganancia neta de velocidad si se acerca a un planeta desde la dirección correcta; de lo contrario, tendrá una disminución neta de velocidad después de salir.El aumento teórico de velocidad máxima en la salida es, por lo tanto, una función de la velocidad del cuerpo del anfitrión (tirachinas) en el marco de referencia y el vector de aproximación.