Estoy teniendo problemas con el modelo de Ho-Lee para tarifas cortas y diferenciando entre cómo encontrar los valores para el parámetro libre λ versus usar el modelo para predecir tasas futuras.
El modelo Ho-Lee para cada paso en un árbol binomial: $$ \ lambda_tdt + \ sigma \ sqrt dt $$
He leído que para establecer el parámetro libre en cada paso en un árbol binomial recombinante, establezca la tasa en el estado 0 a la tasa spot actual (es decir: tasa spot de 1 mes) y encuentre un valor para lambda que cuando se conecte al modelo resultará en el tasa spot actual para el siguiente paso de tiempo (por ejemplo: comenzando con la tasa spot de 1 mes en el estado 0 y usando un paso de tiempo de 1 mes, el valor correcto de lambda cuando se conecta al modelo producirá la tasa spot actual de 2 meses, etc.). / p>
Esto me confunde. Una vez que he determinado el valor de lambda para cada paso en mi árbol, ¿Qué entradas cambio para usar el modelo con mi contenedor? árbol omial para predecir las tasas de futuros … es decir: tasa de un mes en un mes, en dos meses, etc.
En caso de que mi descripción no sea clara, aquí hay una excepción del libro de Bruce Tuckman sobre el sujeto.
… encuentre λ1 tal que el modelo produzca una tasa al contado a dos meses igual a la del mercado. Luego, encuentre λ2 tal que el modelo produzca una tasa al contado a tres meses igual a la del mercado. Continúe de esta manera hasta que el árbol termine.
Responder
Ya sabe que el modelo de Ho-Lee está representado por las ecuaciones diferenciales estocásticas \ begin {align} dr_t = \ lambda_t \, dt + \ sigma \, dW_t \ end {align} Para implementar nuestro árbol binomial, usamos la discretización de Euler. \ begin {align} r_t = r_ {t- \ Delta t} + \ lambda_ {t- \ Delta t} \, \ Delta t + \ sigma \, \ sqrt {\ Delta t} \, Z \ end {align} donde $ Z $ es una variable aleatoria normal estándar. Sea $ t_0 = 0 < t_1 < … < t $ y expanda la ecuación, en tiempo discreto \ begin {align} r_t = r_0 + \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ lambda_ {t_i} + \ sigma \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ \, Z \ end {align} Esta relación muestra que la tasa corta es la suma de un conjunto de términos de deriva no estocásticos y un conjunto de términos aleatorios El precio del bono cupón cero sin arbitraje $ P (t, t + \ Delta t) $ se expresará así como
\ begin {align} P (0, t_n) = E ^ Q \ left [ exp \ left (- \ Delta t \, \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} r (t_i) \ right) \ right] \ end {align} Por ejemplo, calculando el precio del bono en el momento $ n = 2 $, nos da: \ begin {align} P (0, t_2) = E ^ Q [\ Delta t \, exp (-r_ {t_0} -r_ {t_1})] = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} E ^ Q [e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_1}}] \ end {align} en otras palabras \ begin {align} P (0, t_2) = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} \, exp \ left (- \ De lta t \, E ^ Q [r_ {t_1}] + \ frac {1} {2} \ Delta t \, Var ^ Q [r_ {t_1}] \ right) \ end {align} En este caso, $ r_t $ tiene una distribución normal, entonces \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \ lambda_0 \, + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 = -2 \ Delta t \, r_ {t_0} – \ lambda_0 \, \ Delta t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 \ \ end {align} Pero \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = \ Delta t \, [- f (0,0) -f (0, t_1)] \ end {align} Se puede reescribir como: \ begin {align} -r_ {t_0} -f (0, t_1) = – 2r_ {t_0} – \ lambda_0 \ t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} luego \ begin {align} \ lambda_ {t_0} = f (0, t_1) -r_ {t_0} + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} Esta relación proporciona las relaciones recursivas necesarias para desarrollar el modelo Ho-Lee sin arbitraje de tipos cortos. Tomamos un conjunto de precios de bonos y una estructura de volatilidades como entrada para las tasas cortas. Por lo tanto, obtenemos la ecuación evolutiva para representar el árbol binomial del modelo.
Comentarios
- Gracias por su respuesta, aunque ' s por encima de mi nivel de comprensión. En pocas palabras, entiendo que el objetivo del modelo es modelar tarifas futuras. ' he leído que establecimos los parámetros libres en cada paso del árbol de manera que el modelo arroje las tasas al contado actuales. Si así es como sabemos que el modelo está calibrado, ¿qué entradas cambiaría para poder usarlo para modelar tarifas futuras?