Mosaico de un hexágono con diamantes

Creo que he encontrado una prueba realmente fácil.

Cada mosaico con lados verticales debe tener otros dos mosaicos con lados verticales adyacentes. , o el límite vertical del hexágono. Para un mosaico dado con lados verticales, seguir estos mosaicos adyacentes produce un camino específico a ambos lados verticales del hexágono.

Esto significa que cada mosaico con lados verticales se encuentra en un camino que comienza en el lado izquierdo de el hexágono y termina a la derecha, y consta solo de baldosas con lados verticales. Ninguno de estos caminos puede cruzarse, ya que eso crearía dos caminos diferentes desde un solo mosaico con lados verticales hacia el lado izquierdo del hexágono, que no puede existir según el primer párrafo.

Dado que ninguno de los caminos intersectan, cada camino entre los lados izquierdo y derecho del hexágono debe comenzar y terminar a la misma altura. Por lo tanto, cada camino debe contener un número igual de cada uno de los dos mosaicos orientados de manera diferente con lados verticales. Dado que cada mosaico con lados verticales se encuentra en dicho camino, el número total de estos dos mosaicos orientados de manera diferente debe ser igual.

Repita esto simétricamente para otras dos orientaciones para encontrar que el número de mosaicos de cada orientación debe sea igual.

Comentarios

• Muy buena prueba. Creo que podría ser aún más fácil con la simple observación de que a + b = b + c = c + a es equivalente a a = b = c. Entonces puedes dejar todo el cruce y cosas arriba y abajo. En su lugar, solo cuenta los trazos verticales. Según su argumento, deben ser el mismo número en cada » columna » y el límite. Puede mapear 1 a 1 todos trazos verticales excepto el límite izquierdo, digamos, a todos los mosaicos que tienen lados verticales (es decir, dos tipos, como en a + b arriba) asociando cada mosaico con su borde vertical derecho.
• Ah, usted ‘ tiene razón. Una vez que sepa que hay un número igual de trazos en cada orientación, el resultado sigue fácilmente.

Quiero publicar una respuesta que sea más intuitiva que matemática.
Esta imagen la representa perfectamente:

Blanco, gris y negro se utilizan para resaltar los diamantes con la misma orientación. La imagen de la derecha muestra un sólido extraño, supongo que todos pueden verlo.
Bueno, es intuitivo ver que, para cualquier configuración, el área negra es equivalente (blanco y gris también): es como extruyendo partes de su piso (¡también conocidas como escaleras de construcción!), ¡el área sobre la que puede caminar no cambia!

Comentarios

• Su forma se mantiene dando vueltas en mi cabeza. Un momento negro es » arriba «, el siguiente es » abajo «. Pero me gusta esta prueba.
• @Floris Mi intención es resolver este problema como un rompecabezas (nosotros ‘ estás en Puzzling, eheh!), y no como una tarea matemática pura.
• Estás ‘ asumiendo que cada solución » parece » una pila de cubos. ¿Cómo sabes que eso es cierto? De hecho, asumir que cada solución parece una pila de cubos es bastante mucho asumiendo el cosa que ‘ te están pidiendo que pruebes.
• @Floris: Ay, me tomó un tiempo verlo invertido, y una vez que lo hago tengo que luchar para » mantener » esa interpretación y me duele la cabeza. Supongo que jugué demasiado Q * bert en mi juventud.
• @ leoll2 Es ‘ su trabajo convencernos de que no puede ‘ ser cualquier otra cosa. ¿Cómo puedo estar seguro de que no hay ‘ t un mosaico extraño que no ‘ no parece una pila de cubos?

Aquí hay una prueba inspirada en 3D.

Tome cualquier hexágono en mosaico y observe su líneas verticales.

Primero, observe que debido a la forma de las baldosas, todas las líneas verticales deben tener la misma longitud que el lado izquierdo y derecho del hexágono, posiblemente con espacios entre ellos.

Por lo tanto, si ninguno de ellos tiene espacios y todos terminan en la parte inferior, todo el mosaico debe verse así («cubo completamente lleno»):

Mostramos que es posible transformar cualquier otro mosaico en un» cubo completamente lleno «sin cambiar el número de mosaicos en cada orientación.

Primero, seleccione un fragmento de una línea vertical que no termine en la parte inferior. En cambio, tiene que terminar en un mosaico horizontal, ya que los otros dos mosaicos tienen lados verticales. Con suerte, la situación se ve así («esquina»):

Pero tal vez haya una o dos líneas adicionales que se originan en el mismo lugar, así:

Si ese es el caso, siga uno de ellos. Debe pertenecer a otra loseta horizontal adyacente a la actual. (Puedes ver esto en la imagen). Entonces, después de seguir la línea, estás en la misma situación nuevamente, pero más cerca de uno de los lados del hexágono (lo que garantiza la terminación, ya que definitivamente hay una línea vertical en la dirección en la que estás acaba de venir). Continúe en la misma dirección hasta llegar a una «esquina».

Ahora que ha llegado a una «esquina», «llénela»:

Obviamente, el número de mosaicos en cada orientación se ha mantenido igual. Sin embargo, un fragmento de línea vertical acaba de moverse hacia abajo.

Repita este algoritmo hasta que todas las líneas verticales terminen en la parte inferior y se eliminen todos los espacios, dando como resultado el «cubo completamente lleno» (ver arriba).

Comentarios

• ¡Genial! También demuestra que cualquier mosaico puede transformarse en cualquier otro mediante una secuencia de » rellenos de esquina » o pequeñas rotaciones de hexágonos
• Sí, y de alguna manera demuestra que la interpretación 3D siempre funciona. Pero creo que eso podría probarse de manera mucho más directa, como en » tome cualquier mosaico y construya una estructura 3D correspondiente de la siguiente manera … »
• bueno 🙂 básicamente rotación 3d. Hice el 2d. ¿Alguna vez conociste ese acertijo?

Curiosamente, al mirar la imagen como un gráfico en 3D, puedes ver que cada «cara» tenga el mismo número de fichas. Entonces, si lo miras desde la izquierda, verías 25 cuadrados. Arriba, 25 cuadrados. Derecha, 25 cuadrados. Y cada una de las 3 orientaciones corresponde a una de las caras.

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• Siento que este argumento es convincente, pero solo para el mosaico en particular que está viendo. ¿Cómo puede estar seguro de que la ilusión óptica ocurrirá para cada mosaico posible?
• Esta respuesta parece ser una forma de visualizar la respuesta … no prueba nada. Sin embargo, es posible probarlo de esta manera.
• Estoy totalmente de acuerdo. I » sé » la respuesta, pero no puedo explicarla este viernes.

Otro más; este está basado en triángulos y podría ser más una prueba estándar.

Divida todo el hexágono en triángulos y asigne números a las líneas verticales como esta (o similar):

Ahora, para cualquier forma basada en triángulos (whi ch no tiene que ser necesariamente un mosaico) defina su «grado» como el número obtenido sumando todos los números asignados a su límite izquierdo y restando todos los números asignados a su límite derecho. Por ejemplo, la forma

tiene un «grado» de $ (1-2) – (2 + 2-1-2) = – 2 $.

Ahora, construya un mosaico pieza por pieza y considere el «grado» de la forma resultante. Agregar un mosaico horizontal no cambia el grado, agregar uno de los otros lo aumenta o disminuye en 1, respectivamente:

Dado que todo el hexágono tiene un grado de 0, el número de los dos mosaicos que se muestran debe ser igual. Repite simétricamente en otra dirección.

Comentarios

• Puedes dividir el hexágono en cualquier número de formas, entonces la suma de grados de esas formas es 0.Técnicamente, esto no responde porque todavía tiene que demostrar que puede construir el mosaico (por ejemplo, extruyendo, acaba de demostrar que si existe un mosaico, entonces debe tener un grado 0) Pero esta respuesta proporciona con seguridad una pieza faltante en la prueba, por lo que +1
• De la forma en que entiendo la pregunta, no hay necesidad de demostrar que siempre existe un mosaico. Pero lo hace, por supuesto. 🙂 (Vea mi primera respuesta.)
• y para ver que puede construir todas las teselaciones posibles, necesita mi respuesta 🙂
• Oh, ahora entiendo lo que está diciendo. Por » build «, me refiero a algo diferente: comienza con un mosaico; esa es tu primera forma. Luego agregue un mosaico tras otro, hasta llegar al mosaico que tenía originalmente.
• No, para mí está comenzando desde un estado válido (solo tengo que dar uno, que ‘ s trivial) luego aplica algún tipo de transformación que te deje en otro estado válido. Construir como dices es más difícil porque necesitas algún tipo de » pre-emption » que es posible pero requiere búsqueda, mientras esté en mi publicación Yo no ‘ no uso ninguna búsqueda, solo prefijo » transiciones » que hacen razonamiento muy fácil ..

Consideremos la cuadrícula triangular por columna.

Cada columna de la mitad izquierda tiene una más triángulos que apuntan a la izquierda que a la derecha. En la mitad derecha hay un exceso de un triángulo que apunta a la derecha.

Los rombos diagonales contribuyen a exactamente un triángulo que apunta a la izquierda y uno que apunta a la derecha en un columna. Vamos a ignorarlos. Te queda la izquierda con los triángulos que forman parte de una pastilla horizontal. Un rombo horizontal está formado por un triángulo que apunta a la izquierda en una columna (rojo) y un triángulo que apunta a la derecha coincidente en la columna de la derecha (verde).

Los triángulos que ignoramos consisten en pares de triángulos que apuntan a la izquierda y a la derecha en una columna. Entonces, en cada columna debe haber un exceso de un triángulo rojo en la mitad izquierda y un exceso de un triángulo verde en la mitad derecha.

En la primera columna debe haber un triángulo rojo porque hay un exceso de uno y no puede haber triángulo verde. Ese triángulo se corresponde con un triángulo verde en la segunda columna. En la columna 2 hay un triángulo verde, por lo que debe haber un triángulo rojo más. Eso es 2. Estos 2 triángulos rojos tienen triángulos verdes iguales en la 3ª columna, etc.

Como puede ver, hay un triángulo rojo más en cada columna subsiguiente, hasta la línea media. La última columna antes de la línea media tiene 5 triángulos rojos. Hay 5 triángulos verdes coincidentes a la derecha de la línea media. Pero todavía tenemos un exceso de 1 triángulo verde, la cantidad de triángulos rojos disminuye a 4. A partir de ahí, la cuenta disminuye con cada columna. El resultado es que, independientemente de cómo se coloquen las pastillas, los triángulos rojos cuentan en las columnas forman la secuencia 1,2,3,4,5,4,3,2,1,0, que suma 25.

Eso significa que siempre habrá 25 triángulos rojos. Y estas son las mitades de las pastillas horizontales, por lo que siempre habrá 25 pastillas horizontales.

Por simetría rotacional, lo mismo se aplica a las pastillas en diagonal izquierda y derecha. Eso significa que, independientemente de cómo se coloquen, siempre habrá 25 de cada uno de los 3 tipos de pastillas.

QED

Del mosaico triangular con un «límite de cubo», podemos ver que:

• hay un número igual de segmentos de línea en $ 0 ^ \ circ, 120 ^ \ circ, 240 ^ \ circ $

• cada rombo cubre exactamente un tipo de segmento de línea

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• Isn ‘ t eso simplemente repitiendo lo que dijo leoll2, que cuando » extruir partes de su piso » que » el área por la que puede caminar no ‘ t cambiar «.
• Eso ‘ es una prueba mucho mejor que mis respuestas. Es ‘ interesante que simplemente ignore todas las líneas que son visibles y se centre en las invisibles en su lugar.

Si asignamos $ S $ como la longitud del lado del hexágono (en número de longitudes de los lados del diamante) y $ A $, $ B $, $ C $ a sea el número de diamantes de cada tipo donde $ A $ es más largo que alto, $ B $ apunta hacia la parte inferior derecha / superior izquierda y $ C $ puntos hacia la parte inferior izquierda / superior derecha.

El El número total de diamantes (también conocido como área) nos permite hacer esta ecuación:

$$ S ^ 2 * 3 = A + B + C $$

Imagina el $ S = 1 $ hexágono … Solo hay 2 soluciones que son la misma rotada 30 grados. Es necesario que los tres diamantes estén presentes en el orden de la parte central para sumar 360 grados.

Podemos imaginar que hay 3 rutas que van de arriba hacia abajo, de arriba a la derecha a abajo a la izquierda, y la esquina superior izquierda a la inferior derecha. El movimiento total hacia abajo para cualquier camino que siga (de arriba a abajo) debe ser igual a $ 2S $ pero el movimiento de izquierda a derecha debe ser cero. Si se mueve completamente hacia abajo en un diamante $ A $, no se mueve hacia la derecha ni hacia la izquierda. Si se mueve hacia abajo en un diamante $ B $ o $ C $, se mueve hacia la derecha o hacia la izquierda respectivamente. Para que todas las rutas no se muevan hacia la izquierda o hacia la derecha, el número total de $ B $ y $ C $ debe ser igual. Si gira el gráfico 60 grados de manera que un par diferente de esquinas apunte hacia arriba / abajo, puede mostrar esto para $ A $ y $ B $ o $ A $ y $ C $.

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• ¿Puedes explicar un poco más de dónde vienen estos 3 caminos? ¿Hay varios caminos posibles (de arriba a abajo) o únicos dado el mosaico? ¿Son como un peón saltando de un diamante a otro adyacente, o una hormiga siguiendo los bordes?
• Es una suma vectorial … se refiere a todos los caminos que proceden de una esquina a la opuesta sin respaldo seguimiento. Es una hormiga seguir los bordes.
• Para aclarar, no hay una ruta que no siga B = C, así que súmelos todos y B = C

No estoy seguro de que sea una respuesta completa, pero me estoy cansando.

Sea n = número de triángulos a un lado. Tome los diamantes tocando EDITAR: n + 1 unidades de borde adyacentes (solo en 1 punto no cuenta): Al menos un diamante debe ser diferente de los otros. Deje que todos los cambios sucedan en las esquinas, con un cambio en cada esquina.Hemos creado un bucle que puede contener un hexágono con una longitud de lado n-1, y el número de diamantes de cada tipo es igual. Inducción hasta n = 1, donde obviamente es igual.

Ahora deje que un bucle exterior hexagonal se desvíe de nuestra política de «los cambios solo ocurren en las esquinas». Colorea todos los diamantes adyacentes al borde exterior de un color determinado (por ejemplo, negro) y deja los diamantes que sobresalen de este bucle en blanco. Ahora podemos ver un bucle roto que rodea a otro bucle (ciertamente roto) de n-1. Colorea este bucle interior con un segundo color, dejando nuevamente a todos los rebeldes blancos. Haz esto hasta el hexágono n = 1, luego colorea a los rebeldes por orientación.

Ahora, si miras mi diagrama, el hexágono morado interior realmente quiere una baldosa roja en la parte inferior en lugar de una naranja y una rosa. . Imagina que esto es un mosaico. Arranca una baldosa roja y los rebeldes naranja y rosa en el medio, y coloca la baldosa roja allí. El maleficio púrpura está feliz ahora. Ahora haga feliz el hexágono verde (un cambio solo en cada otra esquina) – El diamante lateral inferior quiere ser dos diamantes inclinados para que quepan alrededor del hexágono púrpura – agregue nuestras fichas naranja y rosa a un lado, colocando la ficha verde dondequiera que robamos la teja roja de antes. Creo que está claro que este proceso puede continuar hasta que alcancemos nuestro «hexágono óptimo». Sin embargo, mi cerebro está demasiado frito para probar esto definitivamente.

EDITAR: Creo que estas dos cosas son ciertas: 1. Si tomamos un hexágono no óptimo, cada bucle concéntrico será infeliz 2. Arreglar un bucle infeliz necesariamente agrega mosaicos a nuestra «mano» de mosaicos eliminados 3. Para arreglar el hex más interno, roba cualquier rebelde apropiado.

Con estas dos cosas en mente, es imposible que queramos arreglar un maleficio pero no tengamos fichas en nuestra «mano» de fichas eliminadas, asumiendo que hay al menos un rebelde del tipo que necesita el bucle n = 1.

No hay necesidad de pruebas largas. Piensa en 3D.

Imagina que algunos cubos están fijados en una esquina de una habitación. Las tres orientaciones son las caras que vemos ya que desde todos los lados necesitamos ver el mismo número de caras.

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• también hay una prueba de numeración. Ponga dos ceros en una esquina y construya el número de manera que las 3 orientaciones siempre sumen -1,0 y 1. Al agregar fila por fila, la suma total será 0 Por lo tanto, X (1) + Y (0) + Z (-1) = 0, lo que significa X = Z. Ahora rote la numeración 120degress con un argumento similar X = Y Esto completa la prueba
• Desafortunadamente, esto es esencialmente la misma que la respuesta ya dada por leoll2, y que fue probada en la respuesta de Sebastian Reichelt. La prueba que mencionas en tu comentario también se publicó en la segunda respuesta de Sebastian Reichelt.

En orden Para probar este principio, a través de la programación Pascal para generar diferentes diseños de diamantes, a través de diferentes colores, encontrará que este problema de pavimentación 2D se ha convertido en un problema de generación de modelos 3D, y estos modelos son muy similares a la planificación urbana o la arquitectura. Un cálculo de prueba del diseño de la torre y el podio. Otra característica es que el modelo tridimensional generado no tiene una parte superior grande y una parte inferior pequeña, y es un diseño de paralelepípedo rectangular estable. Una » que actualiza » de un problema bidimensional a un diseño tridimensional. ional

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• ¿Cómo prueba esto la afirmación de la pregunta?