Me molesta la motivación detrás de definir una cuatro velocidades. En Schutz «s Un primer curso en Relatividad general , usa el concepto de un vector tangente en cada punto de una línea de mundo de una partícula dado por $ x ^ \ mu = (ct, x, y, z ) $ . Y luego afirma que
\ begin {ecuación} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {d \ tau} \ end {ecuación}
La explicación matemática que encontré para usar el tiempo adecuado como parámetro con el que todos los observadores están de acuerdo, pero no puedo darme cuenta de los problemas que obtenemos con esta definición, usamos la relación
\ begin {ecuación} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {dt} \ end {ecuación}
donde $ t $ es la medida de tiempo en algún marco inercial S.
Comentarios
- No ' no creo que ' esté haciendo esta pregunta en el espacio euclidiano. Considere una curva $ \ vec {r} (\ lambda) = (x (\ lambda), y (\ lambda), z (\ lambda)) $. Entonces uno puede escribir los vectores tangentes como $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r } / d \ lambda $. O podríamos seguir su última sugerencia y usar $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r} / dx $. El vector tangente seguirá apuntando en la dirección correcta pero no por mucho tiempo r está bien definido y la definición ya no le permite rotar de una manera que mezcle las coordenadas, ya que singulariza $ x $.
- ¿No explica el libro en alguna parte que la velocidad de cuatro está definida? de esa manera para que sea un Lorentz de cuatro vectores?
- @ jacob1729 ¿me puedes dar algún ejemplo? Estoy ' bastante confundido con este tema
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@Milan ya respondió a los problemas técnicos de su definición.
Me gustaría señalar problemas conceptuales. Nos gustaría que la 4 velocidades caracterice de alguna manera el movimiento de un objeto a través del espacio-tiempo. Conceptualmente tiene sentido para la demanda, que tal cantidad debería depender solo de las cantidades que tienen relación directa con ese movimiento. Por lo tanto, llevar el tiempo de un observador aleatorio que no tenga nada que ver con el movimiento del objeto en sería una decisión conceptualmente extraña. Tiene sentido definir 4 velocidades como un vector tangente a la línea del mundo de los objetos, porque esta entidad matemática está directamente conectada con y por lo tanto también con el movimiento de los objetos. Por supuesto, necesitamos alguna parametrización de la línea del mundo, que sería idealmente natural para la línea del mundo / movimiento en sí y no depende de ninguna cantidad externa. Dado que en el espacio-tiempo, cada objeto tiene sus propios relojes, esta curva está parametrizada naturalmente por el reloj del objeto en sí, es decir, en su momento adecuado.
Tenga en cuenta que, de esta manera, no es necesario hablar en absoluto sobre el grupo de Lorentz. Cuando aprendí por primera vez sobre la velocidad 4, la decisión de usar el tiempo adecuado en la derivada me pareció una decisión aleatoria solo para hacer un 4-vector de Lorentz. Pero en realidad tiene razones geométricas más profundas, como intenté explicar.
Comentarios
- ¿Puedes recomendar algún libro de relatividad que explique estos temas como lo explicaste?
- @Lil ' Gravity no realmente, pero puedo darte tres libros que me destacan personalmente. Misner, Wheeler, Thorne – Gravitation explica la relatividad general y la geometría diferencial en un nivel muy intuitivo – junto con las motivaciones físicas para la mayoría de las matemáticas, y Wald – General Relativity es un gran libro para un enfoque geométrico más formal para ver claramente cómo se definen los conceptos de forma abstracta sin la necesidad de un sistema de coordenadas. Luego está Fecko – Geometría diferencial y grupos de Lie para físicos, que considero el mejor libro de texto sobre geometría diferencial.
Respuesta
La primera definición se transforma en un cuatro-vector: $ \ dfrac {dx ^ {» \ mu}} {d \ tau} = \ Lambda ^ {\ mu } {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau} $ .
La segunda definición no se transforma en un cuatro-vector: $ \ dfrac {dx ^ {«\ mu}} {dt»} = \ dfrac {dt} {dt «} \ Lambda ^ {\ mu} {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {dt} $ .
Esto tiene sentido, ya que en la primera definición se dividen las diferenciales de un cuatro-vector (que a su vez también se transforma en cuatro -vector) por un escalar (invariante bajo el grupo de Lorentz).