Necesito calcular el número de fotones en un haz de luz de poder $ P $ . Sé que tiene una potencia constante $ P $ en el rango de longitudes de onda $ [\ lambda_1, \ lambda_2] $ . Entonces, para calcular esto, utilicé una fórmula que se proporcionó en otra pregunta de SE:
$$ N = \ frac {1} {h} \ int _ {\ nu_1} ^ {\ nu_2} \ frac {1} {\ nu} \ frac {dE} {d \ nu} d \ nu $$
Todo está bien , y usando esto se me ocurrió $ N = ln (\ nu_2 / \ nu_1) $ . Pero no estoy completamente convencido de esa fórmula porque no puedo derivarla de $ E = N (\ nu) h \ nu $ .
La respuesta que obtengo de la fórmula parece correcta, pero necesito una prueba de ello.
Fuente de la ecuación: Número de fotones
Comentarios
- Entonces, ¿cuál es la expresión para $ dE / d \ nu $ que usó para evaluar su integral?
- Bueno, la potencia se distribuye uniformemente a lo largo del intervalo, así que dije $ E = h \ nu $, entonces $ dE / d \ nu = h $
- ¿Por qué no $ E = 2h \ nu $ ? Hay muchas posibilidades. ¿Por qué eliges una en concreto? La ecuación $ E = h \ nu $ está relacionada con la energía de un solo fotón. ¿Qué pasa si no tiene una fuente de fotón único? Incluso si su fuente es un fotón único. Estas cosas suelen producir muchos miles de pulsos de un solo fotón por segundo, por lo que, de nuevo, su elección de $ E $ parece extraña.
- No ' no es tan extraño . ' m calculando el número total de fotones emitidos por la fuente, y están distribuidos uniformemente. Con esto quiero decir que la potencia es la misma para todas las frecuencias del rango. Entonces $ E = h \ nu $ debería ser la función que quiero. Si no es así, corrígeme
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La potencia es la cantidad de energía transmitida por segundo, así que ganaste » No podrás calcular la cantidad de fotones. En su lugar, calcularás la cantidad de fotones por segundo. Tomo $ P $ como la potencia total del haz dentro de la frecuencia van desde $ \ nu_1 $ a $ \ nu_2 $ .
El número de fotones por segundo en un intervalo espectral pequeño $ \ delta \ nu $ va a depender de la relación entre la potencia del haz en ese intervalo espectral y la energía por fotón en el intervalo espectral.
La potencia del haz es igual al número de fotones por segundo, dividido por la energía por fotón. Los fotones tienen un rango de frecuencias, $ \ nu_1 $ hasta $ \ nu_2 $ . El problema establece que la potencia es la misma para cada frecuencia cy dentro de ese rango.
Sea N el número total de fotones por segundo transportados por el haz. Elija «s un rango de frecuencia pequeño de $ \ nu_i $ a $ \ nu_i + \ delta \ nu $ . Podemos pretender que todos los fotones en ese rango pequeño tienen la misma frecuencia, $ \ nu_i $ . Entonces, el número de fotones por segundo en ese rango es $ \ delta \ nu \ frac {dP / d \ nu} {h \ nu_i} $ . Pero $ dP / d \ nu $ es una constante: $$ dP / d \ nu = P / (\ nu_2- \ nu_1) $$
Para encontrar el número total de fotones por segundo en todo el rango, necesitamos sumar todas las contribuciones de todos los rangos pequeños:
$$ N (fotones totales / sec) = \ frac {P} {\ nu_2- \ nu_1} \ sum (\ delta \ nu \ frac {1} {h \ nu_i}) $$
en todo $ \ nu_i $ en el rango. Eso es solo la integral
$$ N = \ frac { P} {\ nu_2- \ nu_1} \ int _ {\ nu_1} ^ {\ nu_2} \ frac {1} {h \ nu} d \ nu $$
donde $ N $ es la cantidad de fotones por segundo dentro del rango de $ \ nu_1 $ a $ \ nu_2 $ .
(Con suerte, no he cometido ningún error matemático. Soy muy torpe con MathJax.)
Comentarios
- Está bien, pero lo que quería saber es la derivación de la fórmula. Quiero decir , ¿cómo se llega desde $ E = Nh \ nu $?
- $ N $ en la fórmula que di es un número de fotones por segundo . $ N $ en $ E = Nh \ nu $ es un número de fotones, no un número de fotones por segundo.
- Bien, entonces diga $ P = Nh \ nu $ donde $ N $ es el número de fotones por segundo. ¿Cómo ¿Derivas la fórmula para $ N $ cuando $ \ nu $ es un intervalo?
- Ah, entonces: necesitas entender mejor lo que significa la integral. Editaré mi respuesta para incluir eso.
- ¡La edición lo dejó mucho más claro! Pero hay una última cosa que me molesta …Cuando escribe el número de fotones por segundo en el pequeño rango de frecuencias, ¿cómo lo obtiene? Parece que no puedo ' entender esta idea. Es la única duda que realmente tenía. Desde el principio, sé que debería integrar alguna función sobre $ \ nu $ pero no pude llegar allí. Este paso crucial realmente me está molestando, suena muy sencillo, pero siento que ' me estoy perdiendo un paso.