El operador de giro QM se puede expresar en términos de matrices gamma y estoy tratando de hacer un ejercicio en el que demuestre un identidad que usa $ \ gamma ^ 5 $ y $ {\ mathbf {\ alpha}} $:
$$ \ mathbf {S} = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ mathbf {\ alpha} $$
En mi primer intento hice esto directamente en la representación de Dirac, pero el ejercicio dice que no puedo hacer esto, ¿alguien me puede aconsejar? ¿Existe alguna identidad o truco que me permita hacer esto?
Para aclarar, $ \ alpha $ es la siguiente matriz donde los elementos distintos de cero son las matrices de Pauli:
$ \ alpha ^ i = \ left [{\ begin {array} {cc} 0 & {\ sigma ^ i} \\ {\ sigma ^ i} & 0 \\ \ end {array}} \ right] $
$ \ textbf {S} = \ frac {1} {2} \ Sigma $
donde
$ \ Sigma = \ left [{\ begin {array} {cc} {\ sigma ^ i} & 0 \\ 0 & {\ sigma ^ i} \\ \ end {matriz}} \ right] = – i \ alpha_ {1} \ alpha_ {2} \ alpha_ {3} \ mathbf {\ alpha } $
Comentarios
- ¿Qué es $ \ alpha $ y $ {\ bf S} $ explícitamente?
- Alpha es la matriz cuyas entradas no están en la diagonal principal son matrices de Pauli, pero no estoy seguro de cómo eso ayuda.
- ¿Cómo espera que lo ayudemos a probar una identidad sin una definición clara de todos los símbolos involucrados?
- @Hollis Seguro que al menos puedes decir lo que se supone que significa $ \ alpha $. ' no es una notación estándar como lo son las matrices gamma.
- $ \ mathbf {\ alpha} $ es tan estándar como las matrices $ \ gamma $. La mayoría de los libros de física estándar introducen $ \ mathbf {\ alpha} $ incluso antes que las matrices $ \ gamma $.
Respuesta
Estoy siguiendo las convenciones de Wikipedia con las siguientes definiciones $$ \ Sigma ^ {\ mu \ nu} = \ frac {i} {4} [\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu], \ qquad S ^ i = \ frac {1} {2} \ epsilon ^ {ijk} \ Sigma ^ {jk}, \ qquad \ alpha ^ i = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ i, \ qquad \ gamma ^ 5 = i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3. $$ donde $$ \ {\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu \} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu}, \ qquad \ eta ^ {\ mu \ nu} = \ text {diag} (1, -1, -1, -1). $$ Habiendo dicho esto, ahora notamos $$ S ^ i = \ frac {i} { 4} \ epsilon ^ {ijk} \ gamma ^ j \ gamma ^ k $$ Explícitamente, $$ S ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3, \ qquad S ^ 2 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 1, \ qquad S ^ 3 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 $$ Entonces, $$ \ frac {1} { 2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 1 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 = S ^ 1, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 2 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 2 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 3 = S ^ 2, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 3 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 3 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 = S ^ 3, \\ $$ Por lo tanto, $$ S ^ i = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ i. $$