¿Por qué el GPS depende de la relatividad?

El margen de error para la posición predicha por GPS es $ 15 \ text {m} $. Por lo tanto, el sistema GPS debe mantener la hora con una precisión de al menos $ 15 \ text {m} / c $, que es aproximadamente $ 50 \ text {ns} $.

Por lo tanto, el error de $ 50 \ text {ns} $ en la hora normal corresponde a $ 15 \ text {m} $ error en la predicción de la distancia.
Por lo tanto, para $ 38 \ text {μs} $ error en el cronometraje corresponde a $ 11 \ text {km} $ error en la predicción de la distancia.

Si no aplicamos correcciones usando GR al GPS, entonces se introduce un error de $ 38 \ text {μs} $ en el cronometraje por día .

Puede comprobarlo usted mismo utilizando las siguientes fórmulas

$ T_1 = \ frac {T_0} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} } $ … el reloj corre relativamente más lento si se mueve a alta velocidad.

$ T_2 = \ frac {T_0} {\ sqrt {1- \ frac {2GM} {c ^ 2 R}} } $ … el reloj corre relativamente más rápido debido a la gravedad débil.

$ T_1 $ = 7 microsegundos / día

$ T_2 $ = 45 microsegundos / día

$ T_2 – T_1 $ = 38 microsegundos / día

use los valores dados en este muy buen artículo .

Y para las ecuaciones, consulte HyperPhysics .

¡Entonces Stephen Hawking tiene razón! 🙂

Comentarios

• ¿$ R $ es el radio de la Tierra o el radio de la órbita?
• Pero, ¿qué ‘ s relevante para el GPS es la diferencia entre las marcas de tiempo de diferentes satélites, ¿verdad? Y dado que están en la misma altitud, deberían estar desplazados en el tiempo en la misma cantidad, por lo que las diferencias deberían ser básicamente las mismas que sin relatividad. Quiero decir que no ‘ importa cuánto sea el error en los relojes después de un día, ya que el error de localización no es acumulativo, porque los satélites ‘ los relojes no ‘ t se alejan entre sí.
• Como se indica en esta respuesta , es importante tener en cuenta que los valores dados corresponden a la diferencia entre los factores en la tierra y en órbita, lo que significa que las expresiones para $ T_1 $ y $ T_2 $ dadas don ‘ t evaluar los valores dados, aunque los valores dados son correctos. Punta del sombrero para Michael Seifert, quien señaló esto.
• @Dims 15/300000000! = 100 * 10 ^ (- 6), es igual a 5 * 10 ^ (- 8). Obtuve mi respuesta simplemente escribiéndola en Google, pero debería ser fácil ver que 15 dividido por 3 va a ser un 5 inicial, no un 1.
• Mucha información errónea aquí. Según el Observatorio Naval de EE. UU. (Los creadores del GPS para reemplazar a LORAN): El GPS NO usa cálculos de relatividad en absoluto (repito, NO usa cálculos de relatividad).

Aquí está el artículo de la Universidad Estatal de Ohio http://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast162/Unit5/gps.html , lo que explica bastante bien por qué los relojes de un satélite GPS son más rápidos en unos 38 microsegundos cada día. El artículo luego afirma que la no compensación por estos 38 microsegundos por día haría que un GPS se desconectara unos 11 km por día claramente inutilizable, y afirma que esto (el hecho de que necesitamos compensar los 38 microsegundos para que el GPS funcione) es una prueba de la relatividad general.

El problema es que, si bien los relojes están apagados en 38 microsegundos por día y la Relatividad General está bien, en realidad no tendríamos que compensarlo.El GPS de su automóvil o teléfono no tiene un reloj atómico. No tiene un reloj lo suficientemente preciso para ayudar con el GPS. No mide cuánto tiempo tardó la señal en llegar del satélite A al GPS. Mide la diferencia entre la señal del satélite A y la señal del satélite B (y dos satélites más). Esto funciona si los relojes son rápidos: como siempre que todos sean rápidos exactamente en las mismas cantidades, todavía obtendremos los resultados correctos.

Es decir, casi. Los satélites no se detienen. Entonces, si confiamos en un reloj que es 38 microsegundos más rápido por día, hacemos los cálculos basados en la posición de un satélite que está desviado 38 microsegundos por día. Entonces, el error no es (velocidad de la luz por 38 microsegundos por días), es (velocidad del satélite por 38 microsegundos por día). Esto es de unos 15 cm por día. Bueno, las posiciones de los satélites se corrigen una vez a la semana. Espero que nadie piense que podemos predecir la posición de un satélite durante mucho tiempo sin ningún error.

Volviendo a la suposición original, que sin compensación el error sería de 11 km por día: los relojes de los satélites se multiplican por un factor apenas por debajo de 1 para que vayan a la velocidad correcta. Pero eso no funcionaría. El efecto que produce 38 microsegundos por día no es constante. Cuando el satélite vuela sobre un océano, la gravedad es menor. La velocidad del satélite cambia todo el tiempo porque el satélite no vuela en un círculo perfecto alrededor de una Tierra perfectamente redonda hecha de material perfectamente homogéneo. Si GR creó un error de 11 km por día sin compensar, entonces es absolutamente inconcebible que una simple multiplicación de la velocidad del reloj sería lo suficientemente buena como para reducir esto y hacer que el GPS sea utilizable.

Comentarios

• Bien. Pero tengo que decir que desde un punto de vista filosófico posición de un experimentador, una máquina que hace que los operadores se arranquen el pelo (lo que el GPS haría en ausencia de GR) no está ‘ funcionando hasta que se comprendan esos comportamientos (lo que sucedería cuando alguien inventó GR para explicar la anomalía). Pero ese ‘ es un punto filosófico.
• Esta es la única respuesta correcta en esta página. El GPS fue una evidencia significativa de GR porque podemos comparar la velocidad de los relojes en órbita con los de la Tierra. Sin embargo, la precisión del sistema GPS no es ‘ t depende de que los satélites mantengan la hora exacta. Siempre que mantengan la misma hora, el sistema funciona.
• En realidad, el GPS es una » deficiente » de GR por la razón que indica. gnasher tiene la respuesta correcta: las ecuaciones de campo de Einstein no se utilizan en el GPS en absoluto (imagine el procesamiento numérico involucrado y la potencia de la computadora necesaria desperdiciando toda esa energía, sin mencionar el peso agregado a los satélites, especialmente hace unas décadas)
• Es ‘ cierto que lo único que se necesita para determinar la posición del receptor GPS en relación con los satélites es que los relojes de los satélites estén sincronizados y la velocidad de transmisión sea la misma. Pero eso ‘ es relativo a los satélites. El usuario quiere que el receptor GPS calcule dónde está en la Tierra, lo que requiere tener en cuenta dónde están en órbita los satélites y cómo ha girado la Tierra. Esa ‘ es la razón por la que los relojes de los satélites deben mantenerse sincronizados con los relojes en tierra y por qué se ajustan para mantenerlos sincronizados.
• @ MC9000: Nadie alguna vez afirmó que las ecuaciones de campo de Einstein se resuelven sobre la marcha mediante los satélites GPS ‘ computadoras. La geometría del espacio-tiempo cerca de la Tierra se aproxima bastante bien por el espacio-tiempo de Schwarzschild, por lo que no es necesario volver a resolver las ecuaciones de campo. En particular, la dilatación del tiempo en Schwarzschild se describe mediante fórmulas bastante simples, por lo que no sería necesario un procesamiento de números extenso en primer lugar.

Puede averiguar sobre esto con gran detalle en el excelente resumen aquí: ¿Qué nos dice el sistema de posicionamiento global sobre la relatividad?

En pocas palabras:

1. La relatividad general predice que los relojes ir más lento en un campo gravitacional más alto. Ese es el reloj a bordo de los satélites GPS «hace clic» más rápido que el reloj de la Tierra.
2. Además, Relatividad especial predice que un reloj en movimiento es más lento que uno estacionario. Así que este efecto ralentizará el reloj en comparación con el de la Tierra.

Como puede ver, en este caso los dos efectos actúan en dirección opuesta pero su la magnitud no es igual, por lo tanto, no se cancelen entre sí.

Ahora, averigüe su posición comparando la señal horaria de varios satélites. Están a una distancia diferente de usted y luego toma tiempo diferente para que la señal le llegue.Por lo tanto, la señal de «El satélite A dice ahora que son las 22:31:12» será diferente de lo que «oirá el satélite B en el mismo momento ). Según la diferencia horaria de la señal y conociendo las posiciones de los satélites (tu GPS lo sabe) puedes triangular tu posición en el suelo.

Si uno no compensa las diferentes velocidades del reloj, la medición de la distancia sería incorrecta y la estimación de la posición podría ser de cientos o miles de metros o más, haciendo que el sistema GPS sea esencialmente inútil.

El efecto de la dilatación del tiempo gravitacional puede incluso medirse si va desde la superficie de la tierra a una órbita alrededor de la tierra. Por lo tanto, como los satélites GPS miden el tiempo que tardan los mensajes en llegar y regresar, es importante tener en cuenta el tiempo real que la señal toma para alcanzar el objetivo.

Comentarios

• Las señales de GPS no regresan al satélite, solo van al receptor AFAIK …
• Pero el punto principal aún se mantiene, y es que pasa más tiempo en el reloj del satélite ‘ s que en el reloj de la Tierra, con con respecto a cualquiera de ustedes.
• Curiosamente, la relatividad general no se utiliza per se en los cálculos de los sistemas GPS. Más bien, lo que hace es un pequeño truco agradable que involucra la relatividad especial (aplicando una serie de transformaciones de Lorentz en pasos infinitesimales). Esto resulta ser lo suficientemente preciso y mucho más fácil computacionalmente.
• Puede detectar la dilatación del tiempo simplemente pasando unos días en las montañas. leapsecond.com/great2005/index.htm
• @endolith: … ¡si trae un reloj atómico!

No creo que el GPS » dependa de la relatividad » en el sentido de que una civilización tecnológica que nunca descubrió la relatividad especial / general sería incapaz de crear un sistema GPS que funcione. Siempre puedes comparar el reloj de un satélite con los relojes terrestres y ajuste la velocidad hasta que no se desvíen de la sincronización, ya sea que comprenda o no por qué se desvían de la sincronización. De hecho, los sincronizan empíricamente, no confiando ciegamente en un cálculo teórico.

Preguntar qué sucedería si los relojes se desviaran 38 μs / día (por cualquier motivo) es un extraño contrafactual porque sugiere que nadie está manteniendo el sistema, en cuyo caso presumiblemente sucumbiría rápidamente a varios otros problemas de origen no relativista. Si alguien mantiene sincronizadas algunas partes del sistema, probablemente tendrá que especificar qué partes. Por ejemplo, si los satélites conocen con precisión sus posiciones con respecto a un marco inercial que se mueve con el centro de la tierra, pero la orientación del la tierra se calcula a partir de la hora del día, entonces tendría un error de posición acumulado de 38 μs de rotación de la tierra, o un par de centímetros en el ecuador, por día. Pero si los satélites conocen con precisión su posición con respecto a un marco de referencia en rotación, entonces el error sería mucho menor.