¿Por qué hay doce notas en una octava?

Esto requiere una incursión en la historia musical.

Originalmente, los instrumentos fueron hechos para tocar simplemente notas que sonaban» bien «juntas. Por qué algunas notas sonaban bien y otras mal no era motivo de gran preocupación para la mayor parte de la historia de la humanidad, hasta que Pitágoras , (sí, el tipo de la teorema ) notó que tenía que ver con intervalos, e hizo una teoría musical basada en quintas perfectas. Sin embargo, esta teoría tuvo sus problemas y fue mejorada por personas posteriores, y finalmente terminó en lo que se llama una « entonación simple »

Básicamente, las notas suenan armoniosas si la frecuencia de las notas está cerca de un intervalo simple, como 3/2 o 5/4. Estas teorías fueron importantes porque significaron que era posible que diferentes fabricantes de instrumentos hicieran instrumentos que pudieran tocar escalas juntos, creando así orquestas.

Pero solo la afinación tiene un problema: básicamente solo puedes tocar la escala para la que está construido el instrumento, porque los intervalos entre las notas son diferentes. Si toca una melodía en la escala incorrecta, sonará desafinada. Esto significa que si desea cantar junto con el instrumento, debe encontrar un cantante cuyo rango se ajuste a la canción en la escala para la que está construido el instrumento. No puedes transponer la canción para que se adapte al cantante. Además, los músicos estaban explorando los límites de lo que puedes hacer con instrumentos entonados.

De ahí surgió el temperamento igual . Divide la escala en intervalos iguales, lo que significa que puede transponer una melodía a otras teclas, y también significa que puede hacer cambios de acordes dramáticos y otras cosas interesantes. De hecho, puede dividir la octava en 11 o 13 notas si lo desea, pero para la mayoría de las personas sonará desafinado . Pero cuando lo divide en 12 notas, acercarse lo suficiente a las siete notas de la entonación justa para que sea soportable, excepto a unos pocos desafortunados supuestamente cargados con un tono perfecto hiperactivo. Los cinco tonos que están entre los siete básicos son, como era de esperar, llamados «medios tonos».

Hay temperamentos iguales además de los 12 tonos por octava que sonarán bien, pero generalmente no tienen un número entero de notas por oct. Cra. Wendy Carlos experimentó mucho con esto, e hizo escalas como la escala Gamma con 34.29 notas por octava, algo alucinantes.

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• Hubo mucha exploración práctica y teórica durante siglos, pero el temperamento igual surgió específicamente de la estandarización de los instrumentos de teclado (especialmente los órganos de la iglesia), la cuestión de instrumentos con trastes y la renovación de un enfoque matemático de la tonalidad (ver tratado de Mersenne por ejemplo)
• En realidad esto se conocía antes de Pitágoras. Él fue solo el primero cuyos seguidores lo escribieron. Además, la teoría moderna muestra que las proporciones de números enteros pequeños solo son aplicables a sonidos armónicos. Los sonidos inarmónicos o los sonidos con solo armónicos impares producen diferentes escalas.
• Eso ‘ es el punto. Raciones enteras pequeñas = sonido armónico. No ‘ no veo qué tiene de moderno eso. 🙂 ¿Y cómo sabes que la gente lo sabía antes de Pitágoras si no ‘ t lo escribieron?
• Aquí ‘ es una imagen de solo vs ET lado a lado flic.kr / p / 7rNope
• » Pero solo la afinación tiene un problema: básicamente solo puedes tocar la escala para la que está construido el instrumento, porque los intervalos entre las notas son diferentes «: en realidad, si ‘ estás tocando música con armonías como las que surgieron durante el Renacimiento europeo , no puedes ‘ ni siquiera usar la entonación si te ciñes a una sola tecla, a menos que evites ciertos acordes en esa tecla. Esta respuesta omite el período importante y duradero de temperamentos desiguales, que duró desde principios del siglo XVI hasta el XIX, antes del avivamiento en el XX.

Esta pregunta en math.se es bastante similar a lo que estás preguntando y las respuestas dan muchos detalles:

¿Diferencia matemática entre las notas blancas y negras en un piano?

Lo que sucede aquí es una coincidencia matemática enormemente conveniente: varias de las potencias de 2 ^ (1/12) resultan ser buenas aproximaciones a proporciones de números enteros pequeños, y hay suficientes para reproducir música occidental.

Comentarios

• Creo que, fundamentalmente, (3/2) ^ 12 (129,75) está cerca de una potencia de dos (128). Por lo tanto, las quintas en una escala de 12 notas con temperamento igual tienen una proporción de 1.498: 1 (lo ideal sería 1.5: 1), que está más cerca de la perfección que para cualquier otro número razonable de notas.
• ‘ he leído discusiones sobre 19-TET (temperamento igual de 19 tonos) en las que una escala diatónica tendría cinco » grandes » intervalos de 3/19 de octava y dos » pequeños » intervalos de 2/19 de octava. Tal escala sería adecuada para la notación musical normal si se considera, por ejemplo, C # y Db están separados por 1/3 de paso. La mayor rareza sería que las firmas de teclas con hasta nueve sostenidos o bemoles serían distintas (en lugar de tener C # / Db, F # / Gb y B / Cb como pares de firmas de teclas con sonidos similares).
• Creo que esta cita no se aplica ni explica la pregunta. Aquí no hay coincidencia. Es por construcción.
• @ggcg Que la escala de temperamento igual de n tonos consiste en razones de frecuencia de 2 ^ (j / n) para valores enteros de j es por construcción. Que 2 ^ (7/12) y 2 ^ (5/12) son buenas aproximaciones a 3/2 y 4/3, y que no hay aproximaciones igualmente buenas de estas proporciones en temperamentos iguales de 11 o 13 tonos es una hecho. Y no es una coincidencia, se relaciona con la fracción continua del logaritmo en base 2 de 3. Que 2 ^ (4/12) es una aproximación decente a 5/4 es, sin embargo, una coincidencia por lo que puedo ver. Las propiedades especiales del número 12 son las que hacen que el temperamento igual de 12 tonos funcione razonablemente bien.

Dos puntos que pueden no haber sido completamente respondidos.

• ¿Por qué es C mayor ¿La escala de referencia para tonos naturales?

  La notación anglosajona oscurece un poco la historia. La tradición de la música religiosa llevó en Italia (poco después de Francia y España) a nombrar las notas de la escala mayor de referencia con sílabas convencionales: Ut Re Mi Fa Sol La Si (esto corresponde a CDEFGAB ) procedente de la letra latina de una pieza muy conocida de la época. La última notación de letra única toma otro punto de partida, pero el carácter de referencia de la escala de C mayor ha persistido en los países occidentales, incluso si puede encontrar evidencia de notaciones y teclados usando otras notas como referencia. Una de las principales influencias ha sido la construcción de instrumentos de teclado (en particular, el órgano de la iglesia). La distribución actual del teclado es un compromiso entre el ancho típico de las manos, tocar el Ut (ahora llamado principalmente Do o C ) escala mayor fácilmente y con acceso a todos los semitonos y algunas otras cosas. Otros diseños no han tenido tanto éxito.

  También hay que saber que la teorización y estandarización de la música al menos hasta el siglo XIX se hizo bajo el patrocinio de las iglesias (ortodoxas, católicas, reformadas, …) que impulsaban la uniformidad. El siglo XIX ha visto una estandarización e internacionalización aún mayor de la afinación, la enseñanza de la música y el dominio del piano como instrumento de referencia y composición. Los últimos tres siglos han suprimido o olvidado progresivamente la mayoría de las tradiciones divergentes (en cuanto a escalas, modos, afinación) en Europa.Hoy en día, a las personas que aprenden música se les enseña como evidencia la escala de C mayor como base de la teoría musical y la escala menor y sus variantes no siempre se tratan de manera justa.

• ¿Por qué se ¿Hay un semitono entre E & F y B & C y no en otro lugar?

  Hay varias escalas / modos fuera de la escala mayor, con un número variable de notas, donde los semitonos no se sitúan entre la 3ª y 4ª nota y entre la 7ª y 8ª. Las tres escalas menores (armónica, ascendente, descendente), por ejemplo, pero también dorian , frigio , puede leer un artículo de enciclopedia sobre ellos.

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• De hecho, solo ut hasta la vienen directamente del himno, que va solo de C a A, pero eso estuvo bien ya que el sistema que usaban estas sílabas comprendían escalas superpuestas de seis notas llamadas hexacordes; estas sílabas se utilizaron junto con los nombres de las letras de la escala de siete notas que parece haberlas precedido. Ut se aplicó a F, C o G. Si se añadió más tarde cuando el sistema de hexacordes se rompió y las sílabas se aplicaron a la escala de siete notas. Sin embargo, la escala principal no existía realmente en ese momento, ya que solo había cuatro modos auténticos y sus contrapartes plaga.

Una quinta es el intervalo de consonantes sin octava más pequeño, con una relación de frecuencia de 3: 2. Si comienza a apilar quintos puros, el primer resultado razonablemente cercano a las octavas apiladas (2: 1) es 12 quintos, que resulta ser 531441: 4096 en lugar de 128: 1 para 7 octavas. Eso es lo más cercano que puede conseguir para un número razonable de notas por octava. Por lo tanto, si está buscando una tonalidad construida a partir de octavas apiladas y quintas casi perfectas, una división de doce tonos será más o menos a lo que llegará. .

Esto también sirve para algunos otros intervalos (tercios mayores y menores, por ejemplo), pero peor que quintos. El «temperamento de tono medio» intenta conseguir varios tercios mayores puros a costa de hacer que varios otros intervalos y algunos tercios suenen peor, y «afinación bien temperada» obtiene varios quintos puros y algunos tercios agradables a cambio de algunos más desagradables. quintas.

Así que a lo largo de los milenios, la afinación ha cambiado su enfoque de tercios puros a quintos puros y finalmente se decidió por hacer solo las octavas puras y construir el resto de la escala alrededor de una quinta igualmente templada, lo que resultó en 12 semitonos con temperamento uniforme.

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• Esa fue una muy buena explicación. gracias. todavía estoy interesado en dividir las octavas en varios números de semitonos y jugar con los resultados. Me pregunto si la octava de 12 semitonos sonaba bien antes de la llegada de la » música como la conocemos » o si es algo de un gusto adquirido, en cuyo caso se podrían adaptar desgloses alternativos de la octava, como en el caso de la música occidental, india o asiática oriental.

Cuando se tocan dos notas juntas, suenan agradables solo si sus curvas de onda se juntan cada pocos ciclos. Los llamamos sonido armónico.

Si las curvas de onda nunca se juntan, o no lo hacen en unos pocos ciclos, suenan discordantes.

Las curvas de onda solo se unirán si las dos frecuencias son múltiplos entre sí, por ejemplo, si una frecuencia es de 200 ciclos por segundo y la otra es de 600 ciclos por segundo, sus curvas de sonido coincidirán exactamente 3 veces por segundo y sonarán armónicas.

Al dividir cada octava en 12 intervalos, maximiza el número de pares de notas que suenan agradablemente. Esto se debe a que el número 12 es divisible por más números pequeños que cualquier otro número menor que 60. Es divisible entre 1,2,3,4 y 6. El número 60 permitiría combinaciones más agradables (1,2,3, 4 y 5), pero sería ridículo dividir una octava en 60 intervalos.

Entonces, en la música occidental moderna usan 12 intervalos. Eso proporciona el número máximo de combinaciones con un sonido agradable para crear armonía.

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• No ‘ no veo por qué los divisores son importantes aquí. Porque, por ejemplo, el tritono de temperamento igual tiene una relación de frecuencia 2 ^ (6/12) que es una de las peores aproximaciones (en comparación con la entonación) en la escala, mientras que el cuarto perfecto (2 ^ (5/12)) es uno de el mejor (vea el enlace en la respuesta de Matthew ‘). Otro pequeño comentario: si una frecuencia es de 200 Hz y otra es de 600 Hz, suponiendo que estén ‘ re sincronizados, estarán en la misma fase 200 veces por segundo, es decir, cada tercer ciclo del uno más rápido.
• Las frecuencias no ‘ no necesitan ser múltiplos entre sí; necesitan compartir un pequeño múltiplo común. Vea mi respuesta aquí .
• ¡60 semitonos por octava! ese es un excelente experimento para probar: D
• @nonpop tiene razón. Si dividimos la octava en n intervalos iguales, no es importante que n tenga muchos factores. 16et no tiene una aproximación utilizable a una quinta perfecta. 30et no tiene intervalos mejores que los de 15et, cuya mejor quinta es de 18 centavos de ancho (12et ‘ s es 2 centavos de ancho). Por otro lado, algunos temperamentos iguales con intervalos excelentes tienen primo n, por ejemplo, 19et, 31et y 53et.
• Sí, estoy de acuerdo con @nonpop. Hay algo incorrecto en esta respuesta. Ninguno de los intervalos de 12TET » se alinea «, el ajuste justo proporciona una alineación perfecta pero causa otros problemas. El 12TET es un compromiso. ‘ he conocido a personas con un tono perfecto que afirman que TODOS los intervalos de 12 TET suenan disonantes.

La razón es EL CEREBRO. Al cerebro le gustan las frecuencias que son proporciones simples. Cree que van de la mano. Realmente deberías preguntarte, primero, ¿por qué hay octavas?

Bueno, la octava representa una duplicación / reducción a la mitad de hercios (ciclos por segundo).

Entonces, el Do medio midi es 256 hz, y si conoce los números de su computadora, date cuenta de que las siguientes octavas C están en 512, 1024, 2048, etc. y las octavas más bajas están en 128, 64 y (proxeneta tu viaje) 32.

Los terremotos, por cierto, aparecen alrededor de los 11 hercios.

Toda sociedad comienza con la octava. «Porque 1/2. ¿Entendido?

(Propongo que la 2ª escuela vienesa abandone la octava por cierto, y también afine los instrumentos. Ni que tengan sentido para ellos. El estado actual de las cosas con octavas y afinación y cosas por el estilo es pura hipocresía. ¡Déjalo ir, muchachos! También anota. Y tocar en público. De todos modos nadie viene.)

Hh HHm …

Cómo dividir ¿La octava?

Si la comenzamos en C y la dividimos en 3 (que es una proporción agradable para el cerebro) obtendremos una escala encantadora de 3 notas:

C, E , G #, C

¿Qué tal si lo dividimos en cuatro?

C, Eb, F #, A, C

«Eso es bueno», dice el cerebro, «pero es demasiado SIMÉTRICO». Ambas escalas parecen durar por siempre jamás, no puedo decir qué es qué. ¡Sé! ¿Por qué no mezclas y combinas las proporciones para que sean un poco más desiguales? Entonces puedo averiguar la nota de bajo «.

Y así nació el» Proto Major Thingy «:

C, E, G, C

y el «Proto Minor Thingy»:

C, Eb, G, C

«Espera un «, dice el cerebro,» te perdiste una nota, ¿verdad? «.

» ¿Dónde? «

» Entre G y C, estoy bastante seguro de que tenía algo entre G y C «.

C, E, G, A, C?

» ¡Eso es AGRADABLE! Rock and Rollish. Vamos, ¿qué pasa con el otro? »

¿C, Eb, G, Bb, C?

«Oye, ¿qué pasa con el Bb? Nunca habíamos oído eso antes. ¿Qué tipo de proporción es esa? «

» Son «10/12».

«Te refieres a 5/6. Muy bien. Tócala de nuevo».

C, Eb, G, Bb, C

«Bien, eso es blues. ¡Está bien! Pero hace 70.000 años y hay un montón de pobres bastardos andando por el paisaje siendo aplastados y masticados por tigres dientes de sable y cosas por el estilo. Funerales de Lotta. Mucho tristeza. Como Trump hoy en día, ¡deberías saberlo! Necesita variedad. «

» ¿Permutaciones? «

» Muéstrame «

C, D, E, G, A, C
C, D, E , G, Bb, C
C, Eb, F, G, Bb, C
C, Eb, F, G, A, C

«¿Cuál es la proporción F? «

» 4/3 «

» ¡Genial! Me gusta. 5 notas. Démosle un nombre griego elegante. Agréguelo un poco. ¿Penta …?

«¿Tónico?».

«Eso es maravilloso».

«Estaba bromeando. Ya sabes, demasiado literal …»

» No importa. Es increíble. Iremos con Pentatonic. ¡Más! ¡Necesitamos más! Ahora hay jefes, chozas de barro, joyas «

» Necesito algunas reglas «.

» kay. Eh … mantén el tercero menor o el tercero mayor y el quinto donde lo es, y mueva a los demás … Lo sé, así: ¡mueva el séptimo hacia arriba, el sexto hacia abajo, el cuarto hacia arriba y el segundo hacia abajo! «

C, D, E, G, A, C
C, D, E, G, Ab, C
C, D, E, G, Bb, C
C, D, E, G, B, C
Do, Eb, F, G, Bb, C
C, Eb, F #, G, Bb, C
C, Eb, F, G, A, C y C, Eb, F #, G, A, C
C, Db, E, G, A, C
C, Db, E, G, Ab, C
C, Db, E, G, Bb, C
C, Db, E, G, B, C

«Oye, si los superponemos todos, obtendremos 12 subdivisiones de la octava. ¡Brillante!»

C , Db, D, Eb, E, F, F #, G, Ab, A, Bb, B, C

«Por eso me llaman CEREBRO, hijo. Ah, y tú» de nada. «

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• Aprecio el humor (justo en mi callejón) pero puede ser un poco exagerado para este sitio. ¿Quieres decir con » dividir la C en 3? »
• @GeneralNuisance Probablemente significa dividir la octava en tres partes iguales.
• En realidad, en temperamento igual, el Do medio es 261.63 Hz.
• No creo que la premisa sea sólida.

Para la música occidental, los griegos fueron los primeros en descubra las matemáticas que ocurren naturalmente en los armónicos armónicos generados por las bocinas y otros instrumentos de viento. Los griegos aplicaron las mismas proporciones matemáticas (proporción áurea) a las cuerdas. Pitágoras inventó la afinación pitagórica de (3: 2) quintas perfectas y octavas (2: 1) para que coincida con los armónicos armónicos naturales. Más tarde, los griegos inventaron 7 escalas modales basadas en la afinación pitagórica. Siete modos con ocho notas en una escala. Estas escamas eran jónica, dórica, frigia, lidia, mixolidia, eólica y locriana. Todavía usamos jónico (mayor) y eólico (menor). El defecto de los armónicos naturales es que las octavas entre cada modo estaban ligeramente separadas entre sí. Aristoxenus en el siglo IV a. C. inventó los 12 tonos entre octavas en un intento de usar la misma proporción entre cada nota. Más tarde, se inventaron las teclas para usar estos 12 tonos como base para cada escala. El problema era que, por naturaleza, estas claves están ligeramente separadas entre sí. Para resolver este J.S. Bach a principios del 1700 promovió el uso de la escala templada. Ecualizó el espacio natural entre cada uno de los doce semitonos. Los instrumentos de viento del período barroco tenían una bolsa de cayados de diferentes tamaños para ajustar para cada tecla que tocaban en . Los instrumentos de cuerda también tenían que volver a sintonizarse para cada cambio de clave. Al usar la escala templada, un intérprete podía cambiar entre todas las diferentes teclas sin volver a afinar.

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• De acuerdo, buena historia, pero ¿por qué Aristoxenus se decidió por 12 en lugar de 13 o 11?
• Aristoxenus quería usar la misma proporción de 3/2 math.uwaterloo.ca/~mrubinst/tuning/12.html explica las matemáticas detrás de esto.
• Deberías explicar eso en tu respuesta, entonces.
• Esta respuesta tiene muchas afirmaciones incorrectas. La proporción áurea generalmente no aparece en armonía. Los modos griegos no incluían jónico o eólico (y los modos griegos no son los mismos que aprendemos hoy con esos nombres; los nombres griegos se aplicaron a cuatro de esos modos en la Edad Media, mientras que eólico, jónico y locrio se desarrollaron más tarde). Hay 7 tonos distintos en una escala, no 8. El temperamento se inventó mucho antes de Bach, y el temperamento favorecido por Bach no era igual. Los ladrones de metal no tienen nada que ver con el temperamento, y las cuerdas no necesitaban volver a sintonizarse para cada cambio de clave.

Una simple imagen es a veces mejor que una gran explicación, por lo que también recomiendo revisar los gráficos en este enlace, puede pasar el mouse sobre el 10edo al 19edo, por ejemplo, para ver las diferencias entre varias divisiones: http://www.tonalsoft.com/enc/e/edo-11-odd-limit-error.aspx (solo mire las consonancias más fuertes: 3 – 1/3 **, 5 – 1/5 y 3/5 – 5 / 3, el resto del gráfico no es realmente importante en comparación.)

Básicamente, lo que muestra claramente es que la división de 12 notas es la única que hace las proporciones 3/2 y 4/3 (los más importantes *** después de la octava) casi puros. Y los tercios / sextos (proporciones con el número » 5 «, las siguientes más importantes ***), tampoco son tan malas.Ninguna otra división por un buen número de notas, 10 a 19, puede siquiera acercarse ligeramente a esto. es matemáticamente notable y la razón por la que usamos 12 notas y no 13, 11 o etc.

** (» 1/3 » solo significa una proporción de 4/3 con cambios de 2 octavas, es solo la forma en que originalmente presentan los números.)

*** (Lo que quiero decir es que si tu cerebro quiere reconocer y recordar música fácilmente, necesitas un montón de quintos, cuartos y tercios para estar más o menos afinado, en tu arquitectura musical, incluso melódica; de lo contrario, son principalmente sonidos disonantes, que generan ruido y son difíciles de recordar para tu cerebro …)

Excelente respuesta de @john Baldwin arriba. Jut quería agregar que estas divisiones mínimas también son las más prácticas de usar. Tomando el caso de cantar, por ejemplo, entre una nota, digamos C y su octava C más alta, 7 intervalos producir el sonido más distinto, más 5 sostenidos y bemoles = 12.

Y luego, si comenzamos a dividirlo más, poco a poco comienza a obtener subarmonías muy finas para que el oído humano las perciba. Y estas 12 divisiones también repetir en las octavas superior e inferior y así sucesivamente.

La más fácil de identificar es 4 divisiones, que es un divisor de 12, que forma una escala pentatónica con la nota más alta, una d es por eso que se disfruta fácilmente.

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• Esto no ‘ no tiene mucho sentido para mí. ¿Qué quieres decir con » distinto «? Creo que los intervalos de consonantes son menos distintos que los disonantes, por ejemplo, y la escala de doce tonos está diseñada alrededor de intervalos de consonantes. Los sostenidos y los bemoles no son ‘ t algo que puedas descartar al contar intervalos, a menos que ‘ estés trabajando con una clave o teoría armónica en particular o seomthing (y no ha ‘ t especificado uno). Por último, ¿cómo pueden 7 intervalos producir » el sonido más distinto » si 4 (o más bien 5) intervalos son » ¿el más fácil de identificar «?
• Distinto significa donde se identifica claramente un cambio de una nota a otra. Cuantas más divisiones hay en una escala, menos distintas se vuelven las notas. Los intervalos disonantes pueden identificarse fácilmente ya que son discordantes, pero en términos de cómo el cerebro como la armonía, los 7 intervalos son musicales y naturalmente melódicos. Intente cantar una melodía disonante y una melódica y sabrá cuál se siente más fácil. pentatónico es un subconjunto y tiene intervalos más distintos que las 7 notas de la escala. Si decidió agregar más paradas en una escala como 20, por ejemplo, naturalmente se convertirá en un bostezo largo

Según la redacción de la pregunta, diría que es por diseño. No es una coincidencia que 12 semitonos encajen en una octava en lugar de 11 o 13. Aunque los detalles pueden cambiar si se asume solo la afinación, lo explicaré asumiendo una afinación de temperamento igual. Primero debe saber que hay un continuo de frecuencias y, por lo tanto, tonos entre dos notas. Hemos convergido en una elección particular de combinaciones de tonos para la escala diatónica occidental a través de siglos de experimentación. Las notas en una escala reflejan lo que es agradable para el oído de una cultura en particular. Con el tiempo, los occidentales estandarizaron el semitono dividiendo la octava en 12 pasos usando la relación

f_octave = 2 * f_tonic

impusieron la restricción de que la proporción de dos semitonos consecutivos sea el lo mismo sin importar por dónde empieces,

f_1 / 2 = r * f_tonic (esto sería un segundo menor)

ya que estamos forzando el número de 1/2 pasos de tónico a octava para ser 12 obtenemos la relación

r ^ 12 = 2 o r = 2 ^ (1/12)

En mi opinión, algunas publicaciones aquí están poniendo el carro antes que el caballo. No puede demostrar que la octava tiene solo 12 semitonos usando la definición anterior de un semitono. Más bien pregunta cuál debe ser la proporción para asegurarse de que haya 12 en una octava.

Con ese fin, existen todo tipo de cromatismos alternativos que intentan colocar N pasos iguales en una octava. Estos dan como resultado la ecuación de afinación,

r = 2 ^ (1 / N)

Hay un 24 TET que contiene 24 cuartos de cuarto iguales en una octava. Y definitivamente podría construir una escala con

r = 2 ^ (1/13)

o alguna otra raíz de 2. Por supuesto, estos NO serían 1/2 pasos en el sentido tradicional del término. Ahora, la cuestión de cómo llegamos allí es una historia más larga. Antes de afinar 12TET, la escala Just major con 8 notas (incluida la octava) tiene más de 5 alteraciones. Puede buscarlo en Google y encontrar artículos de Wiki sobre el tema, pero creo que solo había escalas con hasta 17 notas independientes en la octava. Aunque todas las notas consecutivas probablemente tengan una relación ligeramente diferente. Por lo tanto, no es realmente un 1/2 paso. Lo que usted llama 1/2 paso depende de cómo aprendió el término.