¿Por qué la expectativa es lo mismo que la media aritmética?

De manera informal, una distribución de probabilidad define la frecuencia relativa de los resultados de una variable aleatoria: el valor esperado se puede considerar como un promedio ponderado de esos resultados (ponderado por la frecuencia relativa). De manera similar, el valor esperado se puede considerar como la media aritmética de un conjunto de números generados en proporción exacta a su probabilidad de ocurrir (en el caso de una variable aleatoria continua, esto no es «t exactamente cierto ya que los valores específicos tienen probabilidad $ 0 $).

La conexión entre el valor esperado y la media aritmética es más clara con una variable aleatoria discreta, donde el valor esperado es

$$ E ( X) = \ sum_ {S} x P (X = x) $$

donde $ S $ es el espacio muestral. Como ejemplo, suponga que tiene una variable aleatoria discreta $ X $ tal que:

$$ X = \ begin {cases} 1 & \ mbox {con probabilidad} 1/8 \\ 2 & \ mbox {con probabilidad} 3/8 \\ 3 & \ mbox {con probabilidad} 1/2 \ end {cases} $$

Es decir, la función de masa de probabilidad es $ P (X = 1) = 1/8 $, $ P (X = 2) = 3/8 $ y $ P (X = 3) = 1/2 $. Usando el fórmula anterior, el valor esperado es

$$ E (X) = 1 \ cdot (1/8) + 2 \ cdot (3/8) + 3 \ cd ot (1/2) = 2.375 $$

Ahora considere los números generados con frecuencias exactamente proporcionales a la función de masa de probabilidad, por ejemplo, el conjunto de números $ \ {1,1,2,2,2 , 2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3 \} $ – dos $ 1 $ s, seis $ 2 $ sy ocho $ 3 $ s. Ahora calcula la media aritmética de estos números:

$$ \ frac {1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 +3} {16} = 2.375 $$

y puede ver que «es exactamente igual al valor esperado.

Comentarios

• ¿No ‘ t esto se ilustra mejor usando el conjunto más simple de {1,2,2,2,3,3,3,3}? La expresión que muestra aritmética La media de ese conjunto es idéntica a la expresión que muestra el valor esperado de esa variable (si convierte los productos ponderados en sumas simples).
• Re: » El La expresión que muestra la media aritmética de ese conjunto es idéntica a la expresión que muestra el valor esperado de esa variable (si convierte los productos ponderados en sumas simples) » – Sí @Dancrumb, ese fue el punto completo 🙂

La expectativa es el valor promedio o la media de una variable aleatoria, no una probabilidad distribución. Como tal, es para e variables aleatorias el promedio ponderado de los valores que toma la variable aleatoria donde la ponderación es de acuerdo con la frecuencia relativa de ocurrencia de esos valores individuales. Para una variable aleatoria absolutamente continua, es la integral de valores x multiplicada por la densidad de probabilidad. Los datos observados pueden verse como los valores de una colección de variables aleatorias independientes distribuidas de manera idéntica. La media muestral (o expectativa muestral) se define como la expectativa de los datos con respecto a la distribución empírica de los datos observados. Esto lo convierte simplemente en el promedio aritmético de los datos.

Comentarios

• +1. Buena captura re: » La expectativa es el valor promedio o la media de una variable aleatoria, no una distribución de probabilidad «. No ‘ no me di cuenta de este mal uso sutil de la terminología.

Prestemos mucha atención a las definiciones:

La media se define como la suma de una colección de números dividida por la cantidad de números en la colección. El cálculo sería «para i en 1 an, (suma de x sub i) dividido por n. «

El valor esperado (EV) es el valor promedio a largo plazo de las repeticiones del experimento que representa. El cálculo sería» para i en 1 an, suma del evento x sub i multiplicado por su probabilidad (y la suma de todo p sub i debe = 1) «.

En el caso de un dado justo, es fácil ver que el La media y el EV son iguales. Media – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 – 3.5 y el EV sería:

prob xp * x

0,167 1 0,17

0,167 2 0,33

0,167 3 0,50

0,167 4 0,67

0,167 5 0,83

0.167 6 1.00

EV = sum (p * x) = 3.50

Pero, ¿y si el dado no fuera «justo»? Una manera fácil de hacer un dado injusto sería perforar ah ole en la esquina en la intersección de las caras 4, 5 y 6.Además, digamos ahora que la probabilidad de sacar un 4, 5 o 6 en nuestro nuevo y mejorado dado torcido es ahora de 0,2 y la probabilidad de sacar un 1, 2 o 3 es ahora de 0,133. Es lo mismo muere con 6 caras, un número en cada cara y la media de este dado sigue siendo 3,5. Sin embargo, después de lanzar este dado muchas veces, nuestro EV ahora es 3,8 porque las probabilidades de los eventos ya no son las mismas para todos los eventos.

problema xp * x

0.133 1 0.13

0.133 2 0.27

0.133 3 0.40

0.200 4 0.80

0.200 5 1.00

0.200 6 1.20

EV = sum (p * x) = 3.80

De nuevo, sea «s tenga cuidado y vuelva a la definición antes de concluir que una cosa siempre será «igual» que otra. Eche un vistazo a cómo se configura un dado normal y perfore un agujero en las otras 7 esquinas y vea cómo cambian los EV: diviértase.

Bob_T

La única diferencia entre «media» y «valor esperado» es que la media se usa principalmente para la distribución de frecuencia y la expectativa se usa para la distribución de probabilidad. En la distribución de frecuencias, el espacio muestral consta de variables y sus frecuencias de ocurrencia. En la distribución de probabilidad, el espacio muestral consta de variables aleatorias y sus probabilidades. Ahora sabemos que la probabilidad total de todas las variables en el espacio muestral debe ser = 1. Aquí radica la diferencia básica. El término denominador de la expectativa es siempre = 1. (es decir, suma f (xi) = 1) Sin embargo, no existen tales restricciones en la suma de frecuencia (que es básicamente el número total de entradas).