¿Por qué la fuerza es un vector?

Uhm … empiezas con un objeto en ¿Descansar y notar que si lo empuja en diferentes direcciones, se mueve en diferentes direcciones? Luego, observe que puede organizar más de dos (tres para geometrías planas y cuatro para geometrías 3D completas) fuerzas no colineales para anularse entre sí (con suerte, hizo un ejercicio de tabla de fuerzas en su clase y lo ha hecho usted mismo).

La demostración en un objeto que ya está en movimiento es un poco menos obvia, pero puede tomar las ideas aquí y generalizarlas.

En cierto sentido, esto es tan obvio que es difícil de responder porque casi cualquier cosa que haces con las fuerzas hace uso de su naturaleza vectorial.

Comentarios

• Solo es obvio para las personas que están acostumbrados a los vectores. Después de un tiempo te acostumbras tanto que olvidas que fue confuso aprender. Olvidas lo que hiciste y no ‘ no lo sabías en ese momento. Este hace que sea difícil explicar las cosas bien a los principiantes. El comentario de EG safeshere ‘ es correcto. Pero alguien que se pregunte por qué la fuerza es un vector también se preguntará por qué es el impulso. Recuerdo bei confundido que la energía cinética tiene una dirección obvia, pero no es ‘ t un vector.
• La energía cinética no tiene una dirección. El impulso de un objeto tiene una dirección. Un objeto de 500 g que se mueve a 2 m / s en la dirección x positiva no tiene el mismo momento que un objeto de 500 g que se mueve a 2 m / s en la dirección x negativa, pero ambos tienen la misma energía cinética.
• @BillN mmesser314 es consciente de eso, pero es un malentendido bastante común entre los estudiantes de introducción (especialmente los más reflexivos). Critica la noción de que » mira esto tiene una dirección » es una herramienta lo suficientemente buena para que los estudiantes distingan vectores de no vectores. No estoy de acuerdo porque ‘ prefiero abordar la cuestión de la energía cinética que tratar de dar a los estudiantes de introducción una definición más abstracta de ‘ vector ‘, pero es un punto que vale la pena considerar.
• @dmckee Sí, hoy me abría paso a través de Biot-Savart tratando de explicar por qué la corriente, $ I $, no es ‘ un vector, pero $ d \ vec {\ ell} $ sí lo es. Casi me atraganté mientras murmuraba. 🙂 Ese ‘ sigue siendo un vector que no me satisface, pero me tapo la nariz y sigo adelante.
• @BillN Creo que tu ejemplo de KE es un buen ejemplo de por qué esto puede ser complicado para unos pocos recién llegados a la física. Creo que ‘ no es necesariamente obvio que KE carece de un componente de dirección hasta que ‘ haya realizado algunos experimentos que demuestren que hay » » escalar al que vale la pena prestar atención.

Los vectores son cosas que se agregan como pequeñas flechas. Las flechas añaden punta a cola.

El número de rocas no es un vector. 2 rocas + 2 rocas = 4 rocas.

El desplazamiento es un vector. Si se mueve 2 pies hacia la izquierda y 2 pies hacia la izquierda nuevamente, se ha movido 4 pies. Dos flechas de 2 pies de largo que apuntan hacia la izquierda y de punta a cola equivalen a una flecha de 4 pies de largo que apunta a la izquierda.

Si te mueves 2 pies a la izquierda y 2 pies a la derecha, has regresado al inicio. Esto es lo mismo que no se mueve en absoluto. No se pueden agregar rocas de esta manera.

La fuerza se agrega así. Dos fuerzas pequeñas a la izquierda equivalen a una fuerza grande a la izquierda. Las fuerzas iguales a la izquierda y a la derecha equivalen a ninguna fuerza. Esto es por qué la fuerza es un vector.

Editar: los comentarios plantean un punto que pasé por alto. Este punto no suele plantearse al introducir vectores.

Los matemáticos definen un vector como cosas que se comportan como pequeñas flechas cuando se suman y se multiplican por escalares. Los físicos agregan otro requisito. Los vectores deben ser invariantes bajo transformaciones de sistemas de coordenadas.

Existe una pequeña flecha independientemente de cómo se mire. Una pequeña flecha no cambia cuando gira, por lo que ahora mira hacia adelante. De manera equivalente, las flechas pequeñas no cambian si gira la flecha para que mire hacia adelante.

Esto se debe a que el espacio es homogéneo e isotrópico. No hay lugares o direcciones especiales en el espacio que lo cambiarían a usted o una flecha si lo trasladaran a una nueva ubicación u orientación. (Si te alejas de la Tierra, la gravedad es diferente. Si esto importa, debes mover la Tierra también).

Por el contrario, un escalar es un número único que no cambia bajo las transformaciones del sistema de coordenadas. El número de rocas es un escalar.

Las coordenadas que describen un vector cambian cuando se cambia el sistema de coordenadas. El componente izquierdo de un vector no es un escalar.

Hay un espacio vectorial matemático 1-D paralelo a la coordenada izquierda de un vector. Si gira el sistema de coordenadas, puede ser paralelo a lo que se ha convertido en el componente de avance. Un físico no diría que es un espacio vectorial.

Comentarios

• Lo que explicó, también coincide con un escalar firmado. Deberías haber incluido un » forward » o » up » movimiento para hacerlo más claro.
• @RalfKleberhoff – True. Plantea un buen punto.
• @RalfKleberhoff ¿Cómo es que un escalar con signo no es un vector en una sola dimensión? En realidad. Esto siempre me confundió. Parece tener mucho, mucho más en común con los vectores que con los escalares.
• @ jpmc26 physics.stackexchange.com/questions/35562/…
• @ jpmc26 – Buena pregunta. Actualicé mi respuesta para abordarlo.

Un detalle menor: la fuerza es no un vector. Al igual que el impulso, es un covector o monoforma , y covariante. Puede ver esto de varias formas:

• del principio del trabajo virtual: la fuerza es una función lineal que asigna desplazamientos infinitesimales $ \ delta \ mathbf {x} $ (un vector) a cambios infinitesimales en energy $ F \ delta \ mathbf {x} $ (un escalar) y, por tanto, un covector por definición.
• Segunda ley de Newton $ F = ma $: la aceleración es un vector, cuyo índice es «reducido» por la masa para dar fuerza.
• Las fuerzas conservadoras surgen del diferencial de energía potencial, $ F = -dV $, y el diferencial de una función es una forma (covariante).

La diferencia entre un vector y un covector puede no tener sentido si «Recién estamos comenzando a aprender sobre física y, por ahora, saber que las fuerzas se pueden» agregar de punta a cola «como vectores puede ser suficiente para cálculos prácticos. Pero es algo a lo que debe comenzar a prestar atención a medida que madura su comprensión: como el análisis dimensional, realizar un seguimiento cuidadoso de los objetos físicos, matemáticamente, es útil tanto para desarrollar una comprensión más profunda como para detectar errores.

Comentarios

• Creo que este es un comentario útil porque ilustra que » esta es la forma más natural de pensar en la fuerza » de hecho no es necesariamente cierto. Los Covectors son cosas bastante naturales y puedes imaginar un plan de estudios que funcionó con ellos tanto como con los vectores. Es una tradición de nuestro sistema educativo que no lo hacemos (al menos explícitamente).
• @FrancisDavey Preferiría decir que la tradición es que no hacemos la distinción entre vectores y convectores hasta que es demasiado tarde , y simplemente llámelos a todos los vectores. (No ‘ no aprendí la distinción explícitamente hasta que tomé la relatividad general, o posiblemente la mecánica cuántica con sujetadores y kets. Debería ‘ ve sido explícito en el primer curso de álgebra lineal, donde aparecían como vectores de columna y vectores de fila, pero no era ‘ t explícito).
• No vale la pena un voto negativo, pero definitivamente no vale la pena un voto a favor. ‘ no me entusiasma esta » cómo las cosas transforman » definición de lo que constituye una » vector «. La definición matemática de un vector es mucho más simple: los vectores son miembros de un espacio vectorial, un espacio dotado de dos operaciones que obedecen a ocho axiomas simples. Según esta definición, las fuerzas (en la mecánica newtoniana) son vectores.
• @DavidHammen Un » vector » puede significar o 1) un vector tangente , es decir, un elemento del conjunto tangente (o más generalmente, los tensores (0,1) de un álgebra tensorial) o 2) un elemento de algún espacio vectorial general. Por lo general, en física cuando decimos » vector » nos referimos a » (tangente) vector «: no ‘ t llamaríamos escalares, funciones, 2-tensores o, de hecho, covectors, » vectores » aunque técnicamente todos son elementos de un espacio vectorial. Tenga en cuenta que, por definición n. ° 2, incluso el ‘ s » de OP es forzar un vector o escalar » es una pregunta sin sentido!
• Todas esas cosas son vectores genuinos. No ‘ normalmente los llamamos vectores porque esos ‘ no suelen ser una característica útil. Si ‘ estás usando una definición diferente de » vector «, debería estar escrito .

La aceleración se transforma como un 3-vector bajo rotaciones (grupo O (3)).

La aceleración se transforma como un 4-vector bajo rotaciones y aumentos (grupo de Lorentz O (3,1)).

La aceleración bien puede ser parte de una estructura más grande (por ejemplo: 2 índice tensor ) bajo un grupo más grande de transformaciones que incluyen rotaciones, refuerzos, tensiones y traslaciones.

Mi punto es que, cuando dices que la aceleración (o fuerza) es un 3-vector (o algo más), tienes que especificar para qué grupo de transformaciones. Por ejemplo, «la aceleración se transforma como un 3-vector bajo rotaciones», y es por eso que lo llamamos un 3-vector.

Comentarios

• Esta pregunta era claramente sobre la física newtoniana, que el autor no ‘ no comprende completamente. Estás ‘ irrumpiendo con estipulaciones de áreas mucho más complicadas de la física (que el autor puede que ni siquiera necesite). Es ‘ el equivalente a que alguien le pregunte acerca de la ley de Bernoulli ‘ y le pida que especifique si el fluido es viscoso. Por favor, explique los términos que usa y haga coincidir el nivel de tecnicismo con la pregunta.
• @CodyP ¡No irrumpir en absoluto! Bueno, tal vez la teoría de grupos sea un poco más alta de lo necesario aquí, pero … La definición de un vector está íntimamente ligada a cómo se comporta la cantidad bajo la rotación de coordenadas. El hecho de que simplifiquemos esa idea a » magnitud y dirección » no ‘ t elimina la importancia de comprender la rotación de los sistemas de coordenadas y lo que ‘ es invariante y lo que ‘ no. Eso puede ser avanzado, pero ‘ es esencial para responder al OP. Al nivel de Kleppner y Kalenkow, la persona debe conocer una definición más amplia de vectores y rotaciones de coordenadas.
• @CodyP Las preguntas en los sitios de Stack Exchange no son ‘ t solo para el OP. También son un recurso duradero para visitantes posteriores. Las respuestas de varios niveles son algo deseable, aunque es poco probable que Gary obtenga la aceptación del OP ‘ s.
• Cierto, pero ‘ sigue siendo valioso para comprender a su público objetivo y definir términos como impulso, tensor o incluso » grupo de transformaciones «. Puede, por analogía, hablar sobre los efectos de la viscosidad en una pregunta sobre la ley de Bernoulli ‘, pero hacerlo sin cuidado es más probable que suene pedante y confuso que útil y claro.
• @CodyP es cierto, pero tal vez algún día OP vuelva a revisar sus preguntas y entienda esto

En mi opinión, la respuesta real no son algunos argumentos filosóficos subyacentes sobre lo que es una fuerza. La respuesta real es que pensar en la fuerza como un vector te da un modelo que satisface el criterio más importante para cualquier modelo: está de acuerdo con el experimento. También es agradable y simple, lo cual es una ventaja adicional.

Pensar en las fuerzas como vectores te permitirá hacer predicciones de lo que sucede cuando haces experimentos, específicamente experimentos en los que aplicas varios fuerzas a la vez. Por ejemplo, ponga una caja en hielo y tire de ella usando cuerdas con escamas de resorte incrustadas en ellas para medir la magnitud de todas las fuerzas s involucrados. Mida y anote todas las fuerzas y sus direcciones, piense en las fuerzas como vectores y calcule la fuerza resultante que actúa sobre la caja, que debería darle una predicción de su aceleración. Luego mida su aceleración real. Los dos deberían estar de acuerdo, dentro de algún error.

La gente ha realizado experimentos como este, tanto más como menos sofisticados, durante mucho tiempo, y hasta ahora no hemos encontrado nada que indique que pensar en las fuerzas como vectores da un resultado incorrecto. Por lo tanto, pensar en las fuerzas como vectores probablemente darán resultados precisos la próxima vez que necesitemos calcular una predicción.

Así que aprendemos a pensar en las fuerzas como vectores porque funcionan. Y luego los filósofos pueden discutir sobre por qué funciona, normalmente poniéndolo en el contexto de un panorama más amplio, que también ha resistido la prueba de los experimentos.

Dicho esto, hay formas de llegar a la idea de incluso considerar que la fuerza es un vector. Específicamente, cada fuerza tiene una dirección y una magnitud. Como se señaló en otros comentarios, esto no significa necesariamente que deba ser un vector (la energía cinética claramente tiene una dirección y una magnitud, pero generalmente no se considera un vector). Pero basta con preguntarse si podría ser un vector y comenzar a diseñar experimentos en torno a esa hipótesis.

Comentarios

• Cambios en la energía cinética son escalares. No hay energía cinética absoluta; si se da una energía cinética absoluta como un vector, se entiende que es relativo a un marco de referencia, y básicamente indica la cantidad de energía que se convertiría si el objeto dado dejara de moverse con respecto a ese marco. No puede tratarse simplemente como un vector; por ejemplo, dos masas iguales que se mueven en direcciones opuestas, a la misma velocidad relativa al marco de referencia, no se suman a la energía cinética cero.
• @Kaz Your » Sin embargo, ningún comentario » absoluto también se aplica al impulso, por lo que ‘ no es una buena razón, ya que el impulso ha demostrado ser útil para pensar como un vector. Además, » dos masas iguales que se mueven en direcciones opuestas, a la misma velocidad en relación con el sistema de referencia, no se suman a energía cinética cero » No ‘ no veo el problema. La energía cinética se convierte en energía interna si considera los dos objetos como un sistema. El problema aparece cuando se cambia a un sistema de referencia móvil, en cuyo caso el vector de energía cinética suma se volvería distinto de cero. Esa no es una buena propiedad de transformación de vector.
• (Por supuesto que se vuelve diferente de cero. Simplemente cansado. El problema real es que el vector distinto de cero en el que se convierte depende de las propiedades internas del sistema. ¿Los dos objetos tienen el mismo tamaño y se mueven a la misma velocidad, o un objeto es más grande y más lento? Esto afecta la energía transformada » vector «.)

También tuve esta pregunta anteriormente y pasé unas buenas 5 horas en ella. Al final, la explicación de esto es simplemente que el desplazamiento actúa como un vector. Y la aceleración, que es su doble derivada, también actúa como tal. ¿Por qué el desplazamiento actúa como un vector? Bueno, sigue las reglas de la trigonometría y los desplazamientos en una dirección son independientes del desplazamiento perpendicular a ella. Por lo tanto, definimos conceptos vectoriales para abarcar este comportamiento. ¿Por qué el desplazamiento sigue las reglas de la trigonometría? Bueno, esto se ha encontrado más o menos observando que derivando. Después de todo, la base más fundamental de todo en matemáticas es también la observación y la lógica.

Para sacarle el chiste a el camino: sabes que la fuerza es un vector de su definición.

Para demostrar que realmente lo es, realizaría experimentos: comience por unir tres balanzas de resorte (como las que usan los pescadores para pesar peces) entre sí en el mismo punto, y tire de los otros extremos del escala horizontalmente en ángulos de 120 grados con una fuerza F igual distinta de cero. La configuración está en el hermoso gráfico ascii a continuación, y puede ver que las fuerzas son iguales al mirar las lecturas en cada escala.

 F / / F ----- o \ \ F 

También notará que el punto de unión en el medio permanece estacionario, es decir, la fuerza neta es cero.

Si F fuera un escalar, sería imposible sumar o restar exactamente 3 F distintos de cero en cualquier orden y obtener 0 como resultado.

Ahora que sabe que la fuerza no es un escalar, luego trataría de encontrar una manera de hacer que las tres F sumen cero, y observará que si empareja la dirección de cada resorte con cada F, puede obtener exactamente eso:

 F-----F if you consider the direction each \ / spring was pulled, you can rearrange \ / the forces so that they form a loop, F that is, they add to zero. 

Luego, realizaría más experimentos, en varias configuraciones, y descubrirá que, en cada caso, tratar la fuerza como un escalar emparejado con una dirección da el resultado correcto, momento en el que se sentiría justificado al decir: para fines de cálculo, la fuerza tiene una magnitud y una dirección .

Un vector, por otro lado, no es más que una magnitud emparejada con una dirección, por lo que ha demostrado experimentalmente que dentro de los límites de medición, la fuerza es un vector .

Depende de la naturaleza de su enfoque y su interpretación de la palabra «vector». Conceptualmente, un vector espacial es un objeto matemático que se utiliza para encapsular cantidades que tienen una magnitud y una dirección. Cuando aplica una fuerza a algo, el resultado neto del movimiento de ese objeto depende no solo de la fuerza con la que lo empuja, sino también de la dirección en la que lo empuja, por lo que es necesario modelar las fuerzas de una manera que requiera el componente de dirección en consideración. Esto es tan cierto en tres dimensiones como en una. Esa es la forma más sencilla de pensar en ello.

Desde una perspectiva matemática, como ya mencionaste, está implícito en la definición.

«Hemos centrado nuestra discusión en el movimiento unidimensional. Es natural suponer que para el movimiento tridimensional, la fuerza, como la aceleración, se comporta como un vector. «- (Introducción a Mecánica) Kleppner y Kolenkow.

El propio Newton hizo de la naturaleza vectorial de las fuerzas el primer y segundo corolarios de sus tres leyes del movimiento:

Corolario I:
Un cuerpo por dos fuerzas unidas describirá la diagonal de un paralelogramo, al mismo tiempo que describiría los lados, por esas fuerzas separadas .

Corolario II:
Y por lo tanto, se explica la composición de cualquier fuerza directa AD, de dos fuerzas oblicuas AC y CD cualesquiera; y, por el contrario, la resolución de cualquier fuerza directa AD en dos fuerzas oblicuas AC y CD: cuya composición y resolución se confirman abundantemente de la mecánica.

En resumen, las fuerzas son vectores cartesianos, en el sentido matemático de lo que constituye un vecto o.

La derivación de esos corolarios en los Principia es bastante sospechosa. La segunda ley de Newton aborda la fuerza neta sobre el objeto, mientras que la tercera ley de Newton aborda cómo las fuerzas individuales vienen en pares. Pero, ¿cómo relacionar esas fuerzas individuales con la fuerza neta? A diferencia de Kleppner y Kolenkow, otros textos hacen un mejor trabajo, afirmar que las fuerzas son vectores es en efecto la cuarta ley del movimiento de Newton.

Una respuesta de onda manual (por ejemplo, Kleppner y Kolenkow) es afirmar que las fuerzas obviamente actuar como vectores, y luego seguir adelante. Una respuesta que no sea de onda manual es afirmar axiomáticamente que las fuerzas son vectores, y luego seguir adelante. Existe una diferencia sutil pero significativa entre estas dos respuestas. La respuesta de la mano deja a los estudiantes confundidos. La afirmación axiomática invita a los estudiantes a cuestionar el axioma. El siguiente paso es, por supuesto, probar si el axioma se aplica en un entorno de laboratorio.

En realidad, una fuerza física es no un vector. Es una línea en 3D. Una línea con una magnitud. Una fuerza física contiene las siguientes propiedades

• Dirección, $ \ mathbf {e} $
• Un punto en cualquier parte de la línea, $ \ mathbf {r} $
• Magnitud, $ F $

Para describir una fuerza física con un vector, combina la magnitud y la dirección en $ \ mathbf {F} = F \, \ mathbf {e } $ un solo vector. Pero esto todavía carece de la información necesaria para describir una fuerza física.

También necesita una ubicación (el punto de aplicación o la línea de acción como se llama). Aquí puede elegir entre un punto real $ \ mathbf {r} $, o el momento equitativo sobre el origen $ \ mathbf {M} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} $. Si elige lo último, puede recuperar el punto con $ \ mathbf {r} = \ frac {\ mathbf {F} \ times \ mathbf {M}} {\ | \ mathbf {F} \ | ^ 2} $.

El vector de fuerza con el que está familiarizado se usa comúnmente porque obedece las reglas del álgebra vectorial

• La suma está hecha por componente $$ \ mathbf {F} _1 + \ mathbf {F} _2 = \ pmatrix {{Fx} _1 + {Fx} _2 \\ {Fy} _1 + {Fy} _2 \\ {Fz} _1 + {Fz} _2} $$
• El escalado se realiza mediante el componente $$ \ lambda \, \ mathbf {F} = \ pmatrix {\ lambda \, {Fx} \\ \ lambda \, {Fy} \\ \ lambda \ , {Fz}} $$
• Pero las ubicaciones de dos fuerzas no suman como los vectores.

Para representar fuerzas físicas con vectores, necesita 6 cantidades de componentes llamadas tornillos $$ \ hat {f} = \ left [\ matrix {\ mathbf {F} \\ \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}} \ right] $$ que siguen las reglas del álgebra lineal y llevan la información posicional dentro de ellos, produciendo los resultados geométricos y algebraicos correctos.

Comentarios

• ¿Es esta la enésima definición de una fuerza? » vector «?
• Lea esta publicación por la definición de un vector de tornillo.

Pensemos en lo que sucedería si la fuerza fuera no un vector.

Primero, tenga en cuenta que:

Las leyes de la física son invariables en el espacio. Un objeto se comporta de la misma manera cuando actúa sobre él una fuerza, ya sea en París o en Beijing.

Además, observamos:

Las leyes de la física son invariantes bajo la rotación espacial. Patear un balón de fútbol hará que se aleje de ti independientemente de si estás mirando al oeste o al este.

Ahora imagina que aplicamos una fuerza a una bola que descansa sobre una mesa. Digamos que observamos que:

La bola comienza a rodar hacia el este a una velocidad de 1 m / s.

Espera. ¿De dónde vino el «este»? ¿Por qué no está rodando la pelota oeste ? Por lo tanto, naturalmente concluimos:

Debe haber información adicional contenida en el fuerza que aplicamos a la pelota.

Esa información adicional es dirección .

De acuerdo con la segunda ley del movimiento de Newton, la fuerza que actúa sobre un cuerpo es proporcional a la tasa de cambio de momento y está en la dirección en la que la fuerza Está aplicado. Ahora, a partir del enunciado, puede ver que la fuerza tiene una magnitud y una dirección. Por tanto, es un vector. Incluso puede verlo como el producto escalar de masa (escalar) y aceleración (vector) que le dará un vector.