¿Por qué la gravedad ' de la Tierra es más fuerte en los polos?

El punto es que si aproximamos la Tierra con un elipsoide achatado, entonces la superficie de la Tierra es una superficie equipotencial , $ ^ 1 $ ver p. ej. esta publicación de Phys.SE.

Ahora, debido a que el radio polar es más pequeño que el radio ecuatorial, la densidad de superficies equipotenciales en los polos debe ser mayor que en el ecuador.

O de manera equivalente, la intensidad de campo $ ^ 2 $ $ g $ en los polos debe ser mayor que en el ecuador.

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$ ^ 1 $ Tenga en cuenta que el potencial aquí se refiere al efecto combinado de las fuerzas gravitacional y centrífuga. Si vertimos un poco de agua sobre una superficie equipotencial, no habría una dirección de flujo preferida.

$ ^ 2 $ De manera similar, la intensidad de campo, conocida como little $ g $ , se refiere al efecto combinado de las fuerzas gravitacionales y centrífugas, incluso si $ g $ a menudo (casualmente y algo engañoso) se conoce como la constante gravitacional en la superficie de la Tierra.

Comentarios

• ¿Funciona el argumento » que está más cerca del centro de masa «?
• Agradable. Aunque la respuesta nunca usa el término » fuerza centrífuga, » que ‘ está implícito en el argumento, porque el equipotencial es un equipotencial en el marco giratorio.
• @Floris – El argumento de que » estás más cerca del centro de masa » kinda-sort funciona, donde kinda-sorta significa aproximadamente 3/2 (en lugar de uno) en este caso. Aproximadamente 2/3 de la reducción en el ecuador se puede atribuir a que el ecuador está 21 km más lejos del centro de la Tierra. El otro 1/3 se debe directamente a la fuerza centrífuga (y, por supuesto, los primeros 2/3 se deben indirectamente a la fuerza centrífuga).
• @DavidHammen – Supongo que en mis libros » gravity » es solo la atracción entre dos objetos masivos; la fuerza experimentada por una masa en la superficie de la tierra se modula tanto en la distancia como en la rotación, pero solo la primera es » gravedad » en mis libros. Además, dado que OP dijo que entendía la parte de rotación, realmente estaba sugiriendo que se centrara en la forma más sencilla de expresar la segunda parte.
• Creo que Lubos escribió hace mucho tiempo una respuesta que explica de alguna manera por qué la gravedad debido a la ecuatorial bulto es diferente de lo que uno pensaría ingenuamente. Yo ‘ veré si puedo desenterrar esa respuesta.

Muchos lugares afirman que la gravedad de la Tierra es más fuerte en los polos que en el ecuador por dos razones:

1. La centrífuga La fuerza cancela la gravedad mínimamente, más en el ecuador que en los polos.
2. Los polos están más cerca del centro debido al abultamiento ecuatorial y, por lo tanto, tienen un campo gravitacional más fuerte.

Versión TL; DR: Hay tres razones. En orden de magnitud,

1. Los polos están más cerca al centro de la Tierra debido al abultamiento ecuatorial. Esto fortalece la gravitación en los polos y la debilita en el ecuador.

2. El abultamiento ecuatorial modifica la forma en que la Tierra gravita. debilita la gravitación en los polos y la fortalece en el ecuador.

3. La Tierra está girando, por lo que un observador terrestre ve una fuerza centrífuga. Esto no tiene ningún efecto en los polos y debilita la gravitación en el ecuador.

Veamos cómo las dos explicaciones de la pregunta se comparan con la observación.La siguiente tabla compara lo que predice un modelo de gravedad esférico menos aceleración centrífuga para la aceleración gravitacional al nivel del mar en el ecuador ($ g _ {\ text {eq}} $) y el polo norte ($ g _ {\ text {p}} $) versus los valores calculados usando la fórmula de gravedad de Somigliana bien establecida $ g = g _ {\ text {eq}} (1+ \ kappa \ sin ^ 2 \ lambda) / \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 \ lambda } $.

$ \ begin {matrix} \ text {Cantidad} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & \ text {Total} & \ text {Somigliana} & \ text {Error} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & 9.76436 & 9.78033 & -0.01596 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & 9.86431 & 9.83219 & \ phantom {-} 0.03213 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0.06604 & \ phantom {-} 0.03392 & 0.09995 & 0.05186 & \ phantom {-} 0.04809 \ end {matrix} $

Este modelo simple funciona en un sentido cualitativo. Muestra que la gravitación en el polo norte es mayor que en el ecuador. Cuantitativamente, este modelo simple no es muy bueno. Exagera considerablemente la diferencia entre la gravitación en el polo norte y el ecuador, casi en un factor de dos.

El problema es que este modelo simple no tiene en cuenta la influencia gravitacional del abultamiento ecuatorial. Una forma sencilla de pensar en ese abultamiento es que agrega masa positiva en el ecuador pero agrega masa negativa en los polos, para un cambio neto de masa cero. La masa negativa en el polo reducirá la gravitación en la vecindad del polo, mientras que la masa positiva en el ecuador aumentará la gravitación ecuatorial. Eso es exactamente lo que recetó el médico.

Matemáticamente, lo que hace el movimiento de masas es crear un momento cuadripolo en el campo de gravedad de la Tierra. Sin entrar en los detalles de los armónicos esféricos, esto agrega un término igual a $ 3 J_2 \ frac {GMa ^ 2} {r ^ 4} \ left (\ frac 3 2 \ cos ^ 2 \ lambda – 1 \ right) $ al fuerza gravitacional, donde $ \ lambda $ es la latitud geocéntrica y $ J_2 $ es la segunda forma dinámica de la Tierra. Al agregar este término cuadrupolo a la tabla anterior, se obtiene lo siguiente:

$ \ begin {matrix} \ text {Cantidad} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & J_2 \, \ text {term} & \ text {Total} & \ text {Somigliana} & \ text {Error} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & \ phantom {-} 0.01591 & 9.78027 & 9.78033 & -0.00005 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & – 0.03225 & 9.83206 & 9.83219 & -0.00013 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0.06604 & \ phantom {-} 0.03392 & -0.04817 & 0.05179 & 0.05186 & -0.00007 \ end {matrix} $

Esta simple adición del cuadrupolo ahora hace una muy buena coincidencia.

Los números que usé en lo anterior:

• $ \ mu_E = 398600.0982 \, \ text {km} ^ 3 / \ text {s} ^ 2 $, el parámetro gravitacional de la Tierra menos la contribución atmosférica.

• $ R_ \ text {eq} = 6378.13672 \, \ text {km} $, el radio ecuatorial de la Tierra (valor medio de la marea).

• $ 1 / f = 298.25231 $, el aplanamiento de la Tierra (marea media valor).

• $ \ omega = 7.292115855 \ times 10 ^ {- 5} \, \ text {rad} / \ text {s} $, la rotación de la Tierra tarifa.

• $ J_2 = 0.0010826359 $, el segundo factor de forma dinámico de la Tierra.

• $ g_ {\ text {eq}} = 9.7803267714 \, \ text {m} / \ text {s} ^ 2 $, gravitación al nivel del mar en el ecuador.

• $ \ kappa = 0.00193185138639 $, que refleja la diferencia observada entre la gravitación en el ecuador y los polos.

• $ e ^ 2 = 0.00669437999013 $, el cuadrado de la excentricidad de la figura de la Tierra.

Estos valores son principalmente de Groten, «Parámetros fundamentales y las mejores estimaciones actuales (2004) de los parámetros de relevancia común para la astronomía, geodesia y geodinámica «. Journal of Geodesy , 77: 10-11 724-797 (2004) , con el parámetro gravitacional estándar modificado para excluir la masa de la atmósfera. La atmósfera de la Tierra tiene un efecto gravitacional en la Luna y en los satélites, pero no tanto en las personas que se encuentran en la superficie de la Tierra.

Comentarios

• Re » Los polos están más cerca del centro de la Tierra debido al abultamiento ecuatorial. Esto fortalece la gravitación en los polos y la debilita en el ecuador. » : Esto sería no sería cierto si la Tierra tuviera una distribución de masa uniforme .
• @PeterMortensen – Eso es incorrecto. Incluso si la Tierra tuviera una densidad uniforme, la aceleración gravitacional en el polo sería mayor que en el ecuador por un factor de aproximadamente $ 1 + \ frac 1 5 f $, donde $ f $ es el factor de aplanamiento. Consulte Distribución de la fuerza gravitacional en un esferoide achatado no giratorio .
• Es ‘ es realmente útil tener todo esto en un solo lugar; Realmente nunca me di cuenta de la gravedad de la situación hasta que pasé por todo de una vez.

Aquí «Un argumento simple que no requiere ningún conocimiento de cosas sofisticadas como equipotenciales o marcos de referencia rotativos. Imagina que gradualmente pudiéramos girar la tierra cada vez más rápido. Eventualmente se desintegraría. En el momento en que comenzara a separarse, lo que estaría sucediendo sería que las porciones de la tierra en el ecuador tuvieran una velocidad orbital. Cuando estás en órbita, experimentas aparente ingravidez, al igual que los astronautas en la estación espacial.

Entonces, en un punto del ecuador, la aparente aceleración de la gravedad $ g $ (es decir, lo que mides en un laboratorio fijado a la superficie de la tierra) baja a cero cuando la tierra gira lo suficientemente rápido. Por interpolación, esperamos que el efecto del giro real debería ser disminuir $ g $ en el ecuador, en relación con el valor que tendría si la Tierra no girara.

Tenga en cuenta que este argumento automáticamente toma en cuenta la distorsión de la tierra lejos de la esfericidad. La forma achatada es solo una parte de la interpolación entre la esfericidad y la ruptura.

Es diferente en los polos. No importa qué tan rápido gire la tierra, una porción de la tierra en el polo norte nunca estará en órbita. El valor de $ g $ cambiará debido al cambio en la forma de la tierra, pero ese efecto debe ser relativamente débil, porque nunca puede conducir a una ruptura.

La diferencia en la aceleración de la caída libre entre los polos y el ecuador tiene dos factores que contribuyen. Los discutiré uno por uno.

En los polos, la medida la aceleración gravitacional es 9.8322 $ m / s ^ 2 $
En el Ecuador, la aceleración gravitacional medida es 9.7805 $ m / s ^ 2 $

Dado el radio ecuatorial de la Tierra y la velocidad de rotación de la Tierra, puede calcular cuánta aceleración centrípeta se requiere para co-girar con la Tierra cuando estás ubicado en el ecuador. Eso equivale a 0.0339 $ m / s ^ 2 $

Esta aceleración centrípeta requerida (en el ecuador) va a expensas de la verdadera aceleración gravitacional en el ecuador.

Entonces podemos reconstruir cuál sería la aceleración gravitacional ecuatorial en un cuerpo celeste con el mismo tamaño y densidad y abombamiento ecuatorial que la Tierra, pero sin rotación.

Aceleración gravitacional verdadera: 9.7805 + 0.0339 = 9.8144 $ m / s ^ 2 $

Así que todavía hay una diferencia de 0.0178 $ m / s ^ 2 $

La diferencia restante se debe al aplanamiento de la Tierra: en el ecuador estás más lejos del centro de atracción gravitacional de la Tierra que en los polos.

La cuestión es si se tuvieron en cuenta todos los efectos. Las matemáticas resumirían ese efecto de más masa debajo de tus pies aún menos que el efecto de la distancia desde el centro de masa

Otra vista es. En el ecuador hay bultos cerca de ti. Pero desde el otro lado de la tierra, el bulto está lejos de ti. Compare con el polo que todos los bultos están igualmente lejos de usted, eso cuenta la diferencia