En la página Answers.com sobre la longitud de Planck, veo dos casi iguales fórmulas para la longitud de Planck que solo se diferencian por el uso de h y hbar. Sin embargo, las constantes son las mismas, y mi calculadora da la respuesta correcta para hbar en lugar de h, por lo que el primer uso de h probablemente tenía la intención de significar hbar. ¿Por qué el Diccionario Oxford (¡y mi libro de texto!) No usa hbar en su lugar?
ACTUALIZACIÓN: la ecuación (¿del diccionario Oxford?) De la que estaba hablando usa h: 
y la ecuación de Wikipedia que usa hbar, pero da la misma constante para la longitud de Planck: 
Comentarios
- Las Unidades de Planck son cosas de orden de magnitud, de todos modos. Como no ' no tenemos una teoría de gravedad cuántica, no ' no conocemos su escala de energía exacta, por lo que nuestro conocimiento de tales cosas solo es exacto a las escalas que podemos obtener mediante el análisis dimensional. La multiplicación por números puros no es ' t va a cambiar esto. Usar $ \ hbar $ en lugar de $ h $ es igual de ' derecha ' de cualquier manera. Por supuesto, casi toda la mecánica cuántica usa $ \ hbar $, por lo que tendría más ' sentido ' para usar este último.
Responde
la página answers.com que mencionado usa la siguiente fórmula: $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {Gh} {2 \ pi c ^ 3}} $$ Tenga en cuenta que existe el factor $ 2 \ pi $ en el denominador, entonces $ h / 2 \ pi $ puede simplificarse como el $ \ hbar $ habitual. Probablemente no pudieron escribir este carácter, o querían evitar la terminología y los símbolos que solo los físicos conocen. Pero no hay ningún error numérico en la página de answers.com. De todos modos, la definición anterior es equivalente a $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {G \ hbar} {c ^ 3}} $$, que es la longitud habitual de Planck «no reducida». Consulte Wikipedia para obtener la misma fórmula:
http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_length
Numéricamente, es $ 1.6 \ multiplicado por 10 ^ {- 35} $ metros. (Actualización: el Oxford Dictionary of English tiene una fórmula incorrecta; omitieron $ 2 \ pi $ y también se olvidaron de cruzar $ h $. Pero claramente se refieren a la misma longitud de Planck). A veces, la gente también usa el Planck «reducido». longitud que es más elegante y «profesional» en cierto sentido: $$ L_ {Planck, reducido} = \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ hbar} {c ^ 3}} $$ Tenga en cuenta que los $ 8 \ pi $ en el numerador también se puede fusionar con $ \ hbar $ para recuperar $ 4h $, por lo que la longitud de Planck reducida es dos veces (debido a la raíz cuadrada) la longitud de Planck incorrecta que obtendría al usar $ h $ en lugar de $ \ hbar $. Pero, ¿cuál es la verdadera razón por la que se agregó $ 8 \ pi $ allí?
La razón por la que $ 8 \ pi G $ aparece en lugar de $ G $ es porque, en cierto sentido, $ 8 \ pi G $ es más natural una constante de $ G $: esta discusión es análoga al tratamiento de $ 4 \ pi $ en electrodinámica. La constante $ 8 \ pi G $ es natural porque la acción de Einstein-Hilbert es $$ S_ {EH} = \ int d ^ D x \ frac {1} {16 \ pi G} R \ sqrt {-g} $$ La El coeficiente más natural sería $ 1/2 $ en lugar de $ 1/16 \ pi G $, lo que hace que sea natural establecer $ 8 \ pi G = 1 $. La longitud de Planck reducida es algo más larga (cinco veces más o menos), menos extremadamente pequeña. Aún más a menudo, los físicos de partículas hablan sobre la energía de Planck y la energía de Planck reducida, que están cerca de $ 10 ^ {19} $ y $ 10 ^ {18} $ GeV, respectivamente.
La convención para la constante $ G $ fue originalmente elegido por Newton, que quería escribir la fuerza gravitacional como $ GMm / r ^ 2 $. Bueno, sería más natural tener el factor $ 4 \ pi $ o $ 8 \ pi $ en el denominador, $ \ Gamma Mm / 8 \ pi r ^ 2 $. Puede ver que $ \ Gamma $ es simplemente $ \ Gamma = 8 \ pi G $, y sería natural establecer $ \ Gamma $ igual a uno.
Espero no tener para explicar por qué $ \ hbar $ es más natural que $ h $ para los físicos adultos. Las versiones «simples» de las fórmulas pueden ser más simples con $ h $, pero se refieren a la longitud de onda, etc. Los físicos adultos saben que la longitud de onda del seno es proporcional a $ 2 \ pi $. Y las ecuaciones más fundamentales, como la ecuación de Schrödinger o los conmutadores de $ [x, p] $, toman una forma más simple en términos de $ \ hbar $ que $ h $, de Por supuesto.
Volviendo a $ G $: la gente tenía que elegir la convención de cómo normalizar $ G $ en dimensiones superiores. La convención habitual, como se usó implícitamente anteriormente, es que la acción de Einstein-Hilbert siempre tiene el coeficiente $ 1/16 \ pi G $. Eso implica que en las dimensiones del espacio-tiempo $ D $, la fuerza no será $ GMm / r ^ {D-2} $ pero tendrá algunos coeficientes numéricos dependientes de $ D $.
Mejor desea Lubos
Comentarios
- ¡Muchas gracias Lubos! Entiendo que debería haber un Planck reducido ' s constante allí de una forma u otra (con hbar o con h sobre 2 pi).Sin embargo, veo una discrepancia entre la ecuación de Wikipedia ' y la ecuación de Oxford dict ', ya que ' he actualizado la pregunta para mostrar.
- Gracias por la actualización, nombre de usuario incorrecto. El Diccionario de Oxford tiene un error: se olvidaron de cortar el $ h $, ya sea por fuentes insuficientes o por escritores incompetentes, jaja.
Respuesta
Eso debe estar relacionado con problemas de composición tipográfica. Las unidades naturales (de Planck) tienen hbar = 1, no h = 1.