A menudo he leído que los metales que son líquidos Fermi deben tener una resistividad que varía con la temperatura como $ \ rho (T) = \ rho (0) + a T ^ 2 $.
Supongo que la parte $ T ^ 2 $ es la resistencia debida a las interacciones electrón-electrón y el término constante se debe a la dispersión de impurezas.
¿Existe un simple argumento para demostrar esto? ¿O quizás podrías señalarme una buena referencia?
Además, parece que para que las interacciones electrón-electrón introduzcan una resistividad finita, es necesaria alguna dispersión umklapp (para romper la invariancia galileana y de traducción). ¿Es esto correcto? ¿Cuál de estas simetrías (galileana o traslacional) debe romperse?
Comentarios
- Estoy buscando una mejor respuesta, pero mi simple comprensión es de la siguiente manera: $ \ rho \ sim \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 \ sim T ^ 2 $. Y $ \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 $ es lo que define el comportamiento del líquido de Fermi.
- El escalado $ T ^ 2 $ necesita tanto Umklapp como dispersión de electrones a electrones. Efectivamente, una vecindad $ O (kT) $ de la superficie de Fermi para las cuasipartículas participa en las interacciones que implican el escalado, arxiv.org/abs/1204.3591 .
- @EverettYou: Eso ‘ es también lo que estaba pensando, pero ¿dónde entra la aplicación umklapp?
- ¿Alguien tiene buenas referencias sobre el cálculo del efecto umklapp en la teoría líquida de Fermi?
- Hay algunos argumentos » espacio de fase » simples para motivar la dependencia $ T ^ 2 $; ¿Te los has encontrado, @jjj?
Respuesta
Cómo la interacción electrón-electrón conduce a una $ T La dependencia de ^ {2} $ se puede explicar comprendiendo las limitaciones impuestas a la dispersión electrón-electrón por conservación del momento y el principio de exclusión.
Considere la superficie fermi de un gas de electrones en 3D. La superficie de Fermi es una esfera de radio $ k_ {f} $. A temperaturas finitas, los electrones ocupan estados fuera de la superficie de Fermi regidos por la ecuación de Fermi Dirac, caracterizados por una capa fuera de la esfera de Fermi con un radio que es proporcional a la temperatura. Por lo tanto, hay estados vacíos dentro de la esfera de Fermi dentro de un caparazón del mismo radio.
Si activamos las interacciones electrón-electrón, con fuerzas de interacción pequeñas, podemos considerarlo como una dispersión de electrones entre estos estados en la imagen de no interacción anterior. Los electrones, al ser fermiones, solo pueden ocupar estados que ya no están ocupados, junto con una conservación satisfactoria del momento. Por lo tanto, tenemos que elegir dos electrones, ambos en las capas de radio proporcional a T, a cada lado de la superficie de radio $ k_ {f} $, de modo que uno pueda dispersarse en un estado vacío fuera de $ k_ {f} $ superficie y la otra en un estado vacío en el caparazón dentro de la superficie $ k_ {f} $. Por lo tanto, la probabilidad de elegir dos de esos electrones es proporcional a $ T ^ 2 $.
Dado que la contribución a la resistividad es proporcional a la probabilidad de estos eventos de dispersión, estas interacciones conducen a $ T ^ 2 $ dependencia en resistividad.
Hay argumentos más rigurosos pero creo que esto da una imagen intuitiva, válida en el contexto de interacciones débiles y baja temperatura.
Respuesta
¿O tal vez podrías señalarme una buena referencia?
Los detalles detrás de la siguiente respuesta se pueden encontrar en el siguiente documento arXiv (y las referencias en él) arXiv: 1109.3050v1 .
¿Hay un argumento simple para mostrar esto?
Parece que no, pero puedo decir lo siguiente. La conductividad debido a colisiones electrón-electrón generalmente viene dada por: $$ \ sigma = \ frac {n \ e ^ {2} \ \ tau_ {coll} } {m} \ tag {0} $$ donde $ \ sigma $ es la conductividad eléctrica, $ n $ es la densidad del número de electrones, $ e $ es la carga fundamental , $ m $ es la masa del electrón , y $ \ tau_ {coll} $ es la escala de tiempo de colisión promedio (o tasa de relajación). Tenga en cuenta que la resistividad , $ \ eta $, es solo la inversa de la conductividad en la aproximación escalar.
Para un líquido Landau-Fermi , se puede demostrar que la tasa de relajación promedio de los electrones en una superficie Fermi es: $$ \ tau_ {coll} ^ {- 1} = \ frac {\ alpha \ \ left (m * \ right) ^ {3} \ \ left (k_ {B} \ T \ right) ^ {2}} {12 \ \ pi \ \ hbar ^ {6}} \ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ right)}} \ rangle \ tag {1} $$ donde $ \ alpha $ es la eficiencia de la transferencia de impulso a la red iónica como una cantidad adimensional que satisface $ \ alpha $ < 1, $ k_ {B} $ es el constante de Boltzmann , $ \ hbar $ es la constante de Planck , $ W \ left (\ theta, \ phi \ right) $ es la probabilidad de transición para la dispersión inelástica.
Citando el documento arXiv mencionado anteriormente:
Sin embargo, el hecho de que un sólido no posea una simetría de traducción completa tiene importantes consecuencias. Ya en 1937, Baber demostró un mecanismo para resistividad finita en un modelo de dos bandas en el que $ s $ electrones se dispersan desde agujeros $ d $ más pesados mediante una interacción de Coulomb apantallada … Los procesos Umklapp de banda única permiten la transferencia de impulso al sistema de coordenadas cristal …
donde procesos de Umklapp se refieren a electron- phonon y / o phonon-phonon dispersión en una red. Los autores también muestran que el término entre corchetes angulares se puede integrar a lo siguiente: $$ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ derecha)}} \ rangle = 12 \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ left (\ pi \ \ hbar \ right) ^ {5}} {\ left (m * \ right) ^ {3} \ \ epsilon_ {F} *} \ tag {2} $$ donde $ \ lambda _ {\ tau} $ es un parámetro adimensional que describe la interacción efectiva en polaron -polaron dispersión y $ \ epsilon_ {F} * $ es la energía de Fermi de los polarones. Después de un poco de álgebra, podemos demostrar que: $$ \ frac {\ hbar} {\ tau_ {coll}} = \ alpha \ \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ pi} {\ epsilon_ {F } *} \ left (\ pi \ k_ {B} \ T \ right) ^ {2} \ tag {3} $$
Por lo tanto, la resistividad es proporcional a $ \ eta \ propto T ^ {2} $.