¿Qué es la Fermi Surface ? Espero que esta pregunta no sea demasiado elemental para este foro, y me disculpo de antemano en caso de que lo sea.

Permítame explicar mi confusión. Dado un sólido, creo que tengo algo de sentimiento por el nivel de Fermi. Puedo entenderlo, por ejemplo, como el parámetro característico $ \ mu $ en la distribución de Fermi-Dirac de niveles de energía para los electrones en el sistema: $$ f (\ epsilon) = \ frac {1} {e ^ {(\ epsilon- \ mu) / kT} +1} $$ ignorando por el momento otras interpretaciones físicas. Por lo tanto, es el nivel de energía único el que tiene probabilidad 1/2 de estar ocupado.

La definición de la superficie de Fermi, por otro lado, generalmente se da como «la iso-superficie de estados con energía igual al nivel de Fermi «en el espacio tridimensional de los vectores de onda $ k $ , por ejemplo en este artículo de Wikipedia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_band_structure

En otras palabras, se define como aquellos $ k $ tal que $$ E (k) = \ mu. $$ Hasta ahora todo bien. El problema es que no entiendo muy bien qué es $ E (k) $ .

Una situación parece ser sencilla, a saber, un Fermi gas de partículas idénticas. Entonces $$ E (k) = \ frac {k ^ 2} {2m} $$ y la superficie de Fermi es una esfera. Sin embargo, si estamos en un potencial periódico infinito, el modelo idealizado habitual para la teoría de Bloch, entonces las soluciones a la ecuación de Schroedinger salen en la forma $$ \ psi_ {kn} (r) = e ^ {ik \ cdot r} u_ {kn} (r), $$ donde $ u_ {kn} $ es una función periódica y $ n $ es un índice discreto para los niveles de energía. En otras palabras, para cada vector de onda $ k $ ,

hay muchos niveles de energía $ E_n (k) $ .

Entonces, la ecuación para La superficie de Fermi en realidad se vería como $$ E_n (k) = \ mu. $$ Mi pregunta, por lo tanto, Cuál es el nivel de energía del $ E (k) $ que aparece en la definición de la superficie de Fermi? ¿Quizás haya una superficie Fermi para cada nivel $ n $ ? (Suponiendo que los niveles varían continuamente a lo largo del espacio de impulso, lo que nos permite indexar consistentemente los niveles para variar $ k $ .)

Si pudiera Desarrollar mi confusión un poco más, no entiendo muy bien la definición en esta respuesta a esta pregunta:

¿Qué es la superficie Fermi y por qué este concepto es tan útil en la investigación de metales?

Se afirma que

«La superficie de Fermi es simplemente la superficie en el espacio de impulso donde, en el límite de interacciones cero, todos los estados de fermiones con impulso (cristal) $ | k | < | k_F | $ están ocupados y todos los estados de impulso superior están vacíos. «

Por un lado, como se mencionó anteriormente, para cualquier impulso $ k $ , hay es una secuencia infinita de estados de fermiones. El otro problema es que no estoy seguro de que la declaración anterior defina una superficie única, incluso si pudiera de alguna manera seleccionar un estado de fermiones $ \ psi (k) $ para cada $ k $ al que se refiere la declaración. (Necesitaría hacer un dibujo para explicar este punto, que no tengo la competencia para hacerlo).

Comentarios

  • The Fermi La superficie se define a una temperatura de cero absoluto, por lo que toma las soluciones de estado fundamental $ E_0 (k) = \ mu $ …
  • Y en un sólido, observa los estados dentro de un ( Wigner-Seitz).
  • Lemon: Eso también me resulta bastante confuso. Por lo tanto, su declaración sería ‘ La superficie de Fermi es el conjunto de $ k $ tal que $ E_0 (k) = \ mu $, ‘ donde $ E_0 (k) $ es la energía más baja con impulso $ k $. Pero entonces, en un sólido donde muchos de las bandas de energía más bajas están llenas, habría muchos electrones por encima del nivel de Fermi. Esto parece no estar de acuerdo con la imagen habitual.
  • Jon Custer: Supongo que ‘ se refiere al hecho de que cada uno de los $ u_ {kn} $ está determinado por sus valores en una celda. Eso ‘ es cierto. Pero no hay estados que sean solo conc entrado en una celda. (Los $ u_ {kn} $ son periódicos). En cualquier caso, ‘ no veo cómo esto responde a la pregunta.La forma en que lo expresas, lo haces sonar como ‘ por cada $ k $, hay un $ \ psi_ {kn} $ único concentrado en una celda, y su energía es lo que que usamos para definir la superficie de Fermi. ‘ Esto no ‘ no suena bien por una variedad de razones.

Responder

Todo lo que dices es correcto. La superficie de Fermi se define como el conjunto de puntos $ k $ tales que $ E_n (k) = \ mu $ para cualquier banda $ n $. Sin embargo, por lo general, las bandas están relativamente separadas y no se superponen en energía, así:

ingresar imagen descripción aquí

Como podemos ver, las bandas 1 y 3 se encuentran completamente por encima o completamente por debajo del potencial químico $ \ mu $ y, por lo tanto, son irrelevantes para determinar la superficie de Fermi ( de hecho, a bajas temperaturas, esas bandas son prácticamente irrelevantes para cualquier fenómeno físico (solo las bandas cercanas al potencial químico son físicamente importantes). Por eso, en la práctica, puede salirse con la suya con solo considerar una o dos bandas e ignorando completamente todas las demás, y cuando hay una superficie de Fermi (es decir, el potencial químico se cruza con una (s) banda (s)), una banda es casi siempre suficiente.

En casos más complicados / inusuales Sin embargo, es necesario realizar un seguimiento de varias bandas. Por ejemplo, a veces las bandas pueden tocarse o cruzarse, y pueden suceder cosas divertidas si ajusta el potencial químico exactamente al cr punto de ossing. Aún más inusual, dos bandas pueden compartir todo un rango finito de energía, p. Ej. dos curvas de coseno se desplazaron verticalmente en una pequeña cantidad. Pero estos casos son muy raros: para la mayoría de los materiales cotidianos, $ \ mu $ se ubica como máximo en una banda y no necesita preocuparse por esto. (De hecho, a los físicos profesionales les gusta encontrar / crear materiales inusuales donde el potencial químico sí se sienta justo en un cruce de bandas, precisamente porque tales sistemas no se entienden tan bien teóricamente, por lo que hay más que aprender.

Por cierto, en 1-D, como en el gráfico anterior, la «superficie» de Fermi solo consta de valores aislados de $ k $, pero en 2-D suele ser una curva cerrada en el plano $ k_x $ – $ k_y $ y en 3-D suele ser una superficie cerrada, como una esfera. A veces, la superficie de Fermi puede constar de dos (o más) esferas, una dentro de la otra, y la » Fermi sea «para la banda relacionada se encuentra entre ellos. Este fenómeno se llama» anidación en la superficie de Fermi «. Pero si recién está aprendiendo acerca de las superficies de Fermi, entonces no tendrá que preocuparse por estas situaciones complicadas durante mucho tiempo.

Comentarios

  • Gracias por la respuesta clara. Por cierto, ‘ he entendido ahora que se usa la palabra ‘ band ‘ de dos formas distintas en la física del estado sólido. La palabra que usa aquí solo se refiere a un nivel de energía. Pero también existe la noción de una banda como una distribución esencialmente continua de niveles de energía, entre los cuales hay ‘ brechas. ‘ Creo que esto fue una parte importante de mi confusión. Corrígeme si ‘ me equivoco al respecto.
  • @MinhyongKim A » band » se define como una sola curva $ E_n (k) $ para un valor dado de $ n $. (Creo que ‘ es un tanto engañoso llamar a eso un » nivel de energía » porque la función generalmente no es constante, por lo que toma valores en todo un intervalo finito de energías). En ocasiones, las personas abusan de la terminología y también usan la palabra » band » para hacer referencia al intervalo de energía en el que se extiende la función, es decir, colapsando la dependencia del momento. Tienes ‘ razón en que esto es lo que la gente piensa cuando habla de » bandas sin banda. » Pero los dos sentidos de » band » son casi idénticos …
  • .. . la única diferencia es si realiza un seguimiento de la dependencia de $ k $ o simplemente considera el rango de ‘ de la función.
  • Gracias por la explicación adicional. Pero me parece algo importante distinguir los dos sentidos. Si la palabra ‘ band ‘ se utiliza en el sentido de estructura de banda electrónica, entonces la ecuación $ E_n (k) = \ mu $ no ‘ t estaría bien definido incluso para un valor fijo de $ n $. Esta fue una de las cosas más confusas para un novato como yo. En cualquier caso, ¡gracias de nuevo!

Respuesta

La superficie de Fermi es la superficie en el espacio recíproco (la dual del espacio real en el que vive) delimitando los estados fermiónicos ocupados de los fermiónicos desocupados a temperatura cero.Por lo tanto, es una construcción de impulso ($ k $) en lugar de una construcción de energía.

La lógica es la siguiente: intenta juntar todos un número determinado de fermiones. Dado que siguen el principio de exclusión de Pauli, no puede empacar estos fermiones de la manera que desee. Cada vez que hay espacio para un estado en el espacio de impulso, solo un fermión puede ocupar este espacio vacío. Entonces debes comenzar a apilar los fermiones. Tiene una analogía completa con llenar una estantería con libros: debes usar la siguiente fila cuando la anterior esté llena. Puede usar intervalos más pequeños entre raws, ampliar el tamaño de cada raw, …, si tiene demasiados libros, puede usar el siguiente raw, que no es más que usar la siguiente rama de impulso en su relación de dispersión (lo que llama $ k_n (E) $). Cuando pones el último fermión en tu librería fermiónica , el estado de momento correspondiente se llama momento de Fermi, la energía correspondiente se llama energía de Fermi, …, y la superficie de iso- $ k $ en el momento de Fermi se llama superficie de Fermi.

Algunas observaciones ahora

  • Nunca habrá un número infinito de ramas utilizadas para llenar un finito número de fermiones en las relaciones de dispersión (la estructura de bandas del material si lo prefiere).

  • No hay contradicción en suponer que la superficie Fermi tiene varias hojas. Incluso en Wikipedia ya tienes un ejemplo de superficie Fermi con cavidades de electrones y huecos

  • El concepto de superficie Fermi proviene de la noción de estadística (Fermi-Dirac), cuando tienes un número finito de partículas con las que lidiar (en una terminología antigua, es un segundo problema cuantificado), mientras que la estructura de bandas es el espectro completo de estados disponibles para uno partícula (en la terminología antigua, es un primer problema cuantificado) en un potencial periódico. La forma más sencilla de pasar de uno a otro es el uso del potencial químico, que fija el número de partículas por estado energético (más precisamente, la cantidad de energía necesaria para añadir una partícula al sistema termodinámico).

  • La superficie Fermi es un concepto particularmente útil para comprender algunas propiedades de transporte (eléctricos, térmicos, … transportes) de materiales con estructuras de bandas simples, como metales puros y semiconductores dopados. Cuando la superficie de Fermi se vuelve demasiado complicada, se vuelve difícil intuirla. Creo que esto está en el corazón del malentendido del concepto en su pregunta.

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