¿Qué es la resolución de frecuencia?

Editar:

Me he dado cuenta de que mi siguiente definición de » Resolución de frecuencia » es completamente incorrecto (así como la pregunta de OP). La resolución de frecuencia es lo similar que es la magnitud de la función de ventana en el espacio de frecuencia a la función delta de Dirac. Esto se debe a que el producto de la ventana y la señal en el dominio del tiempo se convierte en convolución en el dominio de frecuencia ( y una convolución con la función delta de Dirac es un muestreo que daría una resolución de frecuencia perfecta). Cuanto más grueso es el lóbulo principal (cuantificado por su varianza) y cuanto más altos son los lóbulos laterales, peor es la resolución de frecuencia. Además, la resolución de tiempo se puede cuantificar como la variación de la función de ventana en el dominio de tiempo.

La resolución de frecuencia no es la resolución / ancho de bandeja. En el gráfico a continuación, observe que los lóbulos no se acercan (resolución de frecuencia) a pesar de que el ancho del intervalo disminuye.

Crédito: Dan Boschen

La resolución de frecuencia es más bien una propiedad de la transformada de Fourier de la función rectangular (es decir, la función sinc).

Debemos tener funciones de ventana para trabajar con transformadas de Fourier (incluso cuando se trabaja en teoría). Como consecuencia, siempre estamos trabajando con $ f (t) w (t) $ en lugar de la función $ f (t ) $ en sí mismo (aquí $ w (t) $ es una función rectangular). Según el teorema de convolución, la transformada de Fourier de una función en ventana es siempre una convolución de $ \ hat {f} $ con $ \ hat {w} = $ sinc. En particular, cuando $ f $ es sinusoidal, $ \ hat {f} $ será una función delta de Dirac y la convolución será solo una muestra de una función sinc. Por lo tanto, periódicamente perdemos frecuencias por completo al hacer ventanas, la periodicidad de esta pérdida es la resolución de frecuencia .

Dado que, en las funciones en ventana, la DTFT es una aproximación periódica de la CTFT, también adquiere estas propiedades.

La confusión surge porque cuando no colocamos ceros en la DFT (es decir, solo ejemplo $ f (t) w (t) $ donde $ w (t) = 1 $ ), el ancho del contenedor es igual a la resolución de frecuencia.

Sin embargo, también podemos rellenar ceros (es decir, también muestra $ f (t) w (t) $ donde $ w (t) = 0 $ ) y esto da como resultado que la DTF interpola mejor la DTFT de $ f (t) w (t) $ . Consulte con el primer gráfico.

Para ver por qué la transformada de Fourier de la función rectangular es la función a sinc vea este video y considere el devanado de las funciones sinusoidales (aunque es bastante complicado)

Para responder al ejemplo de OP, la resolución del contenedor es $$ \ frac {F_s} {N} = \ frac {2000} {2000} = 1 $$ donde $ F_s = 2000 $ Hz es la frecuencia de muestreo y $ N $ el tamaño de DFT.

La resolución de frecuencia es la que sería la resolución del contenedor si solo hiciéramos una muestra en la ventana (sin relleno de ceros)

$$ \ frac {F_s} {M} = \ frac {1} {T} = 2 $$ donde $ M $ es el número de muestras en la ventana, $ T $ es la duración de la muestra y $ F_s = M / T $ .

Comentarios

• Buena respuesta Tom.Además, si no está claro, a menudo no ‘ usamos una ventana rectangular, sino otras ventanas que se estrechan y que sirven para disminuir significativamente los lóbulos laterales (mejorar el rango dinámico) a expensas de degradar resolución de frecuencia adicional. Uno de mis artículos clásicos favoritos sobre esto y las aplicaciones de la DFT en general es el de Fred Harris. Creo que ‘ realmente lo disfrutarás si no ‘ ya lo has visto: web.mit.edu/xiphmont/Public/windows.pdf
• @TomHuntington ¡Qué lástima que puedo ‘ votar dos veces!
• @TomHuntington Wikipedia aparentemente no ‘ no conoce mis fórmulas o técnicas. Todavía tengo dificultades con la resolución intrabin (debido al ruido y la sensibilidad de las ecuaciones), pero las frecuencias cercanas se pueden resolver mediante estimación y eliminación iterativas. Cuando quitas el tono grande, el más pequeño es estimable. Cuando eliminas el tono pequeño, obtienes una mejor lectura en el grande. Y así sucesivamente, incluso con múltiples tonos. Cualquier tipo de ventana complica las matemáticas.
• Si tiene dos sinusoides de amplitud casi igual, pero muy cercana en frecuencia, puede usar el fenómeno de latido en el dominio del tiempo. La frecuencia aparente de la señal (por cruces por cero) es el promedio de las dos frecuencias y la frecuencia de la envolvente (si toma un ciclo completo, por ejemplo, dos lóbulos) es la mitad de la diferencia de las frecuencias.
• Además, la resolución define su precisión en lo que sea que esté midiendo. No dice nada acerca de la precisión.

Depende un poco de lo que esté tratando de lograr.

Si realiza una FFT de longitud $ N $ de una señal muestreada en muestreada a una velocidad de $ F_s $ , entonces mucha gente diría que su resolución de frecuencia es $ \ frac {F_s} {N} $ . Si eso es correcto o no, realmente depende de cómo defina exactamente la resolución de frecuencia y de lo que planee hacer con ella.

Lo que realmente está sucediendo es que muestrea una función de dominio de frecuencia con un muestreo intervalo de $ \ frac {F_s} {N} $ . Tan pronto como elija un tamaño de FFT, estará muestreando en ambos dominios con los intervalos de muestreo $ \ frac {1} {F_s} $ en tiempo y $ \ frac {F_s} {N} $ en frecuencia.

El muestreo en el dominio de la frecuencia tiene las mismas propiedades, requisitos y problemas que el muestreo en el dominio del tiempo. obtener alias, puede interpolar, se supone una periodicidad en el otro dominio, etc.

Simplemente aplicando el teorema de muestreo, podríamos argumentar que la resolución de frecuencia requerida para caracterizar completamente una señal es simplemente la inversa de la longitud en el dominio del tiempo. Esto funciona bien para señales que están inherentemente limitadas en el tiempo, como la respuesta al impulso de un sistema LTI.

Sin embargo, no es práctico para señales largas y continuas. En este caso, debe elegir una resolución de frecuencia que sea lo suficientemente buena para su aplicación, y eso realmente depende de los requisitos y el objetivo de su aplicación específica.

El muestreo viene dado por $ {T} _ {s} = \ frac {1} {2000} $ [Sec].
La longitud de la ventana es 1000 muestras.
Dado que la longitud de la ventana debe ser igual a la longitud de los datos, inferimos que la longitud de los datos es 1000 muestras lo que significa que el tiempo de muestreo es $ 0.5 $ [Sec].

La resolución de Bin en DFT es la proporción entre el intervalo de muestreo y el número de Muestras DFT, que en este caso es 2000. Por lo tanto, la resolución del contenedor es $ \ frac {1} {4000} $ [Hz].