Advertencia: La primera parte de esta respuesta adopta una postura muy técnica sobre el procedimiento BRST y, además, funciona con un espacio de fase de dimensión finita por conveniencia. Podría parecer bastante lejos de la comprensión de los fantasmas en la aplicación promedio de transformaciones BRST o fantasmas como herramienta.

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La concepción general de fantasmas

Hay muchas diferentes niveles en los que se puede discutir la aparición de fantasmas, anti-fantasmas y su número en la mecánica hamiltoniana restringida (que es lo mismo que las teorías de calibre en un nivel lagrangiano). Uno de ellos está parcialmente esbozado en esta respuesta mía , donde el operador BRST se muestra como el diferencial en la cohomología del álgebra de Lie de calibre.

Veremos una forma ligeramente diferente de ver los fantasmas, a saber, » extendiendo el espacio de fase «, en esta respuesta, aunque esto puede verse como una reformulación del enfoque de cohomología del álgebra de Lie en » términos de espacio de fase «:

El El formalismo BRST, en un nivel abstracto, busca implementar la reducción a una superficie de restricción $ \ Sigma $ en un espacio de fase $ X $ no resolviendo las restricciones $ G_a $ , sino buscando una ampliación adecuada del espacio de fase de modo que las funciones en el espacio de fase ampliado tengan un derivación calificada $ \ delta $ viviendo en ellos cuyo ho La mología calcula las funciones en la superficie de restricción, que son los observables invariantes de calibre. ¹

El espacio de fase ampliado se obtiene de la siguiente manera:

1. Una función en la superficie de restricción $ \ Sigma $ viene dada por el cociente de todas las funciones de espacio de fase módulo las funciones que desaparecen en la superficie. Cada función $ f $ que desaparece en la superficie viene dada por $$ f = f ^ a G_a $$ donde $ f ^ a $ son funciones de espacio de fase arbitrarias. Si uno introduce tantas variables $ P_a $ como restricciones existen, y define $ \ delta P_a = G_a $ así como $ \ delta z = 0 $ para cualquier variable de espacio de fase original, luego la imagen de $ \ delta $ son exactamente todas las funciones que desaparecen en $ \ Sigma $ . Para que se califique $ \ delta $ , se debe tomar $ P_a $ como grado $ 1 $ . El grado de una función como simplemente el grado de la misma como polinomio en el $ P_a $ se denomina anti- número fantasma . ²

2. El $ P_a $ son solitarios y necesitan variables conjugadas. Estos están dados por las llamadas formas 1 longitudinales en la superficie de restricción, donde un campo vectorial longitudinal en la superficie de restricción es uno que es tangente a las órbitas del indicador. Sus duales son formas 1 que solo se definen en vectores longitudinales. Debería ser geométricamente intuitivo (y de hecho es cierto) que los campos vectoriales longitudinales son precisamente los campos que generan las transformaciones de calibre (nuevamente son solo otra encarnación del álgebra de Lie de calibre). Por lo tanto, hay tantas formas 1 longitudinales $ \ eta ^ a $ como restricciones, y como anti-fantasmas $ P_a $ .Dado que existe la acción natural $ \ eta ^ a (P_b) = \ delta ^ a_b $ por definición del dual, también es natural definir simplemente el corchete de Poisson en un espacio de fase ampliado con coordenadas $ (x ^ i, p_i, \ eta ^ a, P_a) $ por $$ [\ eta ^ a, P_b] = \ delta ^ a_b $$ por lo que los pares $ (\ eta ^ a, P_a) $ actúan como pares adicionales de variables canónicas. La derivación se extiende al $ \ eta $ simplemente por $ \ delta (\ eta ^ a) = 0 $ . A las funciones en este espacio de fase ampliado ahora se les asigna un número fantasma puro según su grado en la $ \ eta $ .

Dada cualquier función en el espacio de fase ampliado, el fantasma number es simplemente el número fantasma puro menos el número anti-fantasma.

Lo bueno del número fantasma es que es el cargo de cierto generador – lo mide el operador ³ $$ \ mathcal {G}: = \ mathrm {i} \ eta ^ a P_a $$ que cumple con $$ [f, \ mathcal {G}] = \ mathrm {i} \ operatorname {gh} (f) f $$ para cualquier función de fantasma definido número. El número fantasma es físicamente importante porque ser un estado del número fantasma cero es, junto con la condición de ser invariante BRST, la condición necesaria y suficiente para ser un estado físico.

Sin embargo, obtener esta condición requiere ahora obteniendo el diferencial BRST agregando otro diferencial $ \ mathrm {d} $ a $ \ delta $ , y mostrando que el $ \ delta + \ mathrm {d} $ da, cuando » pequeñas perturbaciones , el operador nilpotente requerido para el formalismo BRST. (La derivación de esto es muy técnica, y a veces se conoce como el » teorema de la teoría de la perturbación homológica «) Examinando nuevamente las acciones de $ \ mathrm {d}, \ delta $ , uno encuentra que las funciones invariantes de calibre son precisamente aquellas invariantes bajo el operador BRST con un número fantasma cero, por lo que la teoría cuántica también debería imponer esta restricción.

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^{1 » cuya homología calcula » es un lenguaje matemático porque es un operador $ \ delta $ , donde las funciones invariantes de calibre son precisamente las funciones con $ \ delta (f) = 0 $ y donde identificamos $ f $ y $ g $ si hay un $ h $ tal que $ \ delta (h) = f – g $ . Además, esto se vuelve un poco más complicado en el caso de restricciones reducibles.}

^{2 En el caso de restricciones irreducibles, esto ya calcula correctamente el indicador -Funciones invariantes, y en principio uno podría detenerse aquí. Sin embargo, no es satisfactorio haber agregado el $ P_a $ , pero no tener variables conjugadas adecuadamente para ellas en el formalismo hamiltoniano.}

^{3 Esta definición es la analogía discreta y no conforme a la expresión para $ U $ que está escrita en la pregunta.}

^{Referencia principal: » Cuantización de sistemas de calibre » por Henneaux / Teitelboim}

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El caso específico de $ bc $ -CFT

Un » $ bc $ -CFT » general, es decir, un 2D La teoría de campos conforme con campos fantasmas viene dada por la acción fantasma $$ \ frac {1} {2 \ pi} \ left (b (z) \ bar \ partial c (z ) + b (z) \ parcial c (z) \ right) $$ cuando los campos $ b $ y $ c $ tienen pesos conformes $ h_b $ y $ h_c = 1 – h_b $ , respectivamente. Las funciones de espacio de fase con número fantasma cero se traducen ahora en operadores con peso conforme $ 1 $ (ya que tienen el mismo número de fantasmas y anti-fantasmas en ellos, y el peso se comporta de forma aditiva ).

Esto muestra que los estados físicos primarios (por la correspondencia de campo de estado de CFT 2D) en tal teoría deben necesariamente tener un peso conforme $ 1 $ .Esto es importante en la teoría de cuerdas, donde un $ bc $ -CFT con $ h_b = 2 $ es añadido naturalmente al $ X $ -CFT de los campos de la hoja mundial. Para un CFT genérico, todos los primarios posibles podrían, en principio, ser estados físicos, pero el procedimiento BRST fuerza estados fantasma número cero, es decir, campos con peso $ 1 $ , como el solo estados físicos permitidos.

Comentarios

• Esta es una respuesta muy detallada, pero también podría proporcionar un ejemplo del uso de números fantasma en CFT específicamente ?
• @JakeLebovic: Agregué una breve explicación de cómo el requisito del número fantasma cero se refleja en el caso de la teoría de cuerdas (que es el único caso que conozco donde aparecen fantasmas en un CFT).

En la teoría de campo conforme en el plano, necesitas definir un producto interno en el espacio de estados de su teoría. En la teoría de cuerdas bosónicas, el espacio de estados, es decir, el espacio de Hilbert de la teoría $ \ mathcal {H} $ es el espacio de la representación del álgebra de Virassoro:

$$ {\ bf Vir} \ longrightarrow \ mathcal {H} $$

En la cuantificación radial de CFT en el plano complejo, a cada estado en el espacio de Hilbert de la teoría, se puede asociar un operador local en el plano complejo, el llamado correspondencia operador-estado . Se puede definir el producto interno BPZ en este espacio de Hilbert. Lo primero es definir los estados asintóticos $ | 0 \ rangle $ y $ \ langle0 | $.

$$ | 0 \ rangle \ iff \ text {Operador de identidad} \, \, \ hat { I} \, \, \ text {en el origen} \, \, z = 0 $$ $$ \ langle0 | \ iff \ text {Operador de identidad} \, \, \ hat {I} \, \, \ text {en el infinito} \, \, z = \ infty $$

Estos dos pueden estar relacionados por una transformación conforme $ z \ longrightarrow \ widetilde {z} = – \ frac {1} {z} $. Se puede demostrar que bajo esta transformación conforme los modos $ \ hat {\ alpha} _n $ de un campo $ \ Phi $ de dimensión conforme $ h _ {\ Phi} $ se transforman como:

$$ \ hat {\ alpha} _n \ iff (-1) ^ {h _ {\ Phi} + n} \ hat {\ alpha} _ {- n} $$

Entonces, bajo la transformación conforme tenemos la siguiente:

$$ \ hat {\ alpha} _n | 0 \ rangle = 0 \ iff \ langle0 | \ hat {\ alpha} _ {- n} = 0 \ tag {1} $$

Esto, para el álgebra de Virasoro, implica que $ L _ {- 1} $, $ L_0 $ y $ L_1 $ y sus contrapartes anti-holomórficas $ \ overline {L} _ {- 1} $, $ \ overline {L} _0 $ y $ \ overline {L} _1 $ aniquilan tanto $ | 0 \ rangle $ como $ \ langle0 | $. Pero estos modos generan el grupo $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $, el grupo de transformación conforme global en la esfera de Riemann. Por tanto, $ | 0 \ rangle $ se conoce como $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $ – vacío invariante.

Por otro lado, usando $ (1) $ se puede demostrar que $ b _ {- 1} $, $ b_0 $ y $ b_1 $ también aniquilan tanto $ | 0 \ rangle $ como $ \ langle0 | $. La relación de conmutación canónica del sistema $ bc $ muestra que:

$$ \ {b_n, c _ {- n} \} | 0 \ rangle = | 0 \ rangle \ ne0 $$

de modo que los modos $ c _ {- 1} $, $ c_0 $ y $ c_1 $ no aniquilan ninguno de los $ \ rvert0 \ rangle $ y $ \ langle0 \ rvert $. El primer elemento de matriz distinto de cero para el sistema $ bc $ en la esfera de Riemann es así:

$$ \ langle0 \ lvert c _ {- 1} c_0c_1 \ rvert0 \ rangle \ ne0 $$

La conjugación BPZ, es decir, la relación (1) viola el número fantasma en 3 unidades. La acción del sistema $ bc $ tiene la siguiente simetría de número fantasma:

$$ \ delta b = -i \ epsilon b \ qquad \ delta c = i \ epsilon c $$

La corriente correspondiente es:

$$ j_z (z) = -: b_ {zz} (z) c ^ z (z): $$

En el que $: \ cdots: $ denota un orden normal.

El origen de la violación del número fantasma descrito anteriormente es geométrico. $ j $ es el número de fermiones actual de fermiones quirales que tienen espín entero no convergente (el $ b $ y $ c $ ambos tienen espín entero). Por lo tanto, tiene anomalía gravitacional:

$$ \ partial_ {\ overline {z}} j_z = – \ frac {1} {2} (2 \ lambda-1) \ sqrt {g} R $$

En el que $ \ lambda $ es la dimensión conforme de $ b $. Al integrar esto, se puede ver que la violación del número fantasma en una superficie del género $ g $ Riemann (hoja universal de la teoría de cuerdas cerradas) es $ 3 (g-1) $. La importancia de la corriente fantasma es que determina los elementos de la matriz S distintos de cero del CFT.