Hasta donde yo entiendo, la energía de enlace gravitacional de alguna distribución de masa es el negativo de su energía de potencial propio gravitacional.
Intenté calcular este último para una esfera sólida de radio $ R $, masa $ M $ y densidad uniforme.
Según el teorema de la cáscara (o la ley de gravitación de Gauss), la intensidad del campo a una distancia $ r $ del centro de la esfera viene dada por
$$ \ frac {GM_ {enc}} {r ^ 2} = \ frac {G} {r ^ 2} M \ big (\ frac {r} {R} \ big) ^ 3 = \ frac {GMr} {R ^ 3} $$
donde $ M_ {enc} = M (r / R) ^ 3 $ es la masa encerrada en una esfera de radio $ r $.
El potencial gravitacional en un La distancia $ r $ creada por esta distribución es así
$$ V = – \ frac {GMr ^ 2} {2R ^ 3} $$
La energía del potencial autogravitacional es la suma de las energías del potencial gravitacional $ U \ cdot dm $ sobre todos los elementos de masa $ dm $ en la distribución.
Procedamos con la integración de shell. La masa contenida en el caparazón del radio interno $ r $, el radio externo $ r + dr $ es simplemente
$$ dm_r = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ rho = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ frac {M} {4 \ pi R ^ 3} = \ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} $$
La energía de potencial propio del Por tanto, la esfera es
$$ \ int ^ {R} _ {0} V (r) dm_r = \ int ^ {R} _ {0} \ big (\ frac {-GMr ^ 2} { 2R ^ 3} \ grande) \ grande (\ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} \ grande) = \ frac {-3GM ^ 2} {2r ^ 6} \ int ^ {R} _ {0} r ^ 4dr = – \ frac {3GM ^ 2} {10R} $$
que es exactamente la mitad de la respuesta correcta.
Revisé mi trabajo varias veces en busca de errores simples, pero parece que no puedo localizar la fuente del factor de error de $ 2 $. Esto me lleva a creer que hay algo fundamentalmente incorrecto con la forma en que calculé la energía.
¿Dónde está el problema?
Comentarios
- En su MathJax usted ' estás usando \ big para corchetes grandes, que no ' no funciona. Usa \ left y \ right que coincidan en su lugar. \ Big es un tamaño, mientras que \ left y \ right escalarán automáticamente al tamaño necesario para el contenido adjunto de los corchetes.
Respuesta
El problema es la forma en que está formando sus caparazones, ya sea que provengan del interior o del exterior de las capas anteriores. Para la energía de enlace, esto significa la cantidad de energía que se necesitaría para eliminar secuencialmente cada capa sucesiva hasta el infinito. Por lo tanto, el potencial debe calcularse con respecto al infinito, no al origen; su expresión de potencial sugeriría que cada capa comienza en el origen y se expande a través de la masa existente hasta un radio $ r $, en lugar de fusionarse alrededor de un núcleo ya existente desde el exterior. Entonces, calcule el potencial como
$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ r \ frac {GM_ {enc} (r)} {x ^ 2} \ dx = – \ frac { GM_ {enc} (r)} {r}. $
Esto debería resolver el factor de dos.
Dejando de lado la terminología, creo que podemos estar de acuerdo en el concepto de cuál es la magnitud de los medios de energía, por lo que positivo o negativo no tiene un gran impacto. Para tener una idea de la integral anterior, imaginemos una sola partícula que está siendo atraída por la gravitación de la bola que aún se está formando (con radio $ r $), en lugar de una cáscara. A medida que la partícula entra desde el infinito, el potencial que sentirá será el potencial gravitacional newtoniano habitual, hasta que golpee la superficie de la bola. Ahora, cada pedacito de La masa $ dm $ de un caparazón que se agrega también sentirá este mismo potencial; podemos pensar en el caparazón como muchas partículas pequeñas que vienen de todas las direcciones al mismo tiempo. Cada vez que agregamos un caparazón de esta manera, $ r \ rightarrow r + dr $, por lo que $ M_ {enc} $ aumenta en consecuencia, lo que explicamos en la integral más de $ r $. Esto contrasta con la integral con límites $ [0, R] $ en la pregunta, porque tal integral es más similar a la cantidad de energía que se necesitaría para «inflar» las capas de masa hacia afuera desde el origen. Tal proceso requeriría que la pelota fuera totalmente permeable a medida que los proyectiles se inflan hacia la superficie, pero si este fuera el caso, toda la pelota colapsaría inmediatamente sobre sí misma nuevamente debido a su falta de rigidez.
Comentarios
- Ok. Primero, en realidad no ' sé qué energía de enlace gravitacional. Solo sé lo que es la energía potencial propia. La energía potencial de un sistema de masa $ m_1, … m_N $ es la suma de $ U_ {i, j} $ sobre todos los pares $ (i, j) $ con $ i < j $ donde $ U_ {i, j} = – Gm_im_j / r_ {i, j} $, $ r_ {i, j} $ es la distancia entre las masas $ m_i $ y $ m_j $. Esto es lo que intenté calcular.
- En segundo lugar, su integral no ' tiene sentido para mí. $ M_ {enc} (r) $ debe reemplazarse por $ M_ {enc} (x) $ ¿no?
- Josh tiene razón: tomó la definición incorrecta de la energía de enlace. Consulte este artículo de Wikipedia para el cálculo completo: en.m.wikipedia.org/wiki/Gravitational_binding_energy
- @LucJ.Bourhis: De hecho, lo que calculé es la energía potencial autogravitacional, que es solo el negativo de la energía de enlace. Describí la energía del potencial propio arriba, es decir, simplemente la energía de la distribución de masa debido a su propio campo gravitacional.
- He agregado una aclaración en la respuesta, ya que no ' t encaja aquí en los comentarios. La diferencia esencial en nuestras dos cantidades es la cantidad de energía involucrada en la eliminación de todos los trozos de masa infinitamente alejados unos de otros frente a la cantidad de energía necesaria para evitar que la bola colapse sobre sí misma. La primera es la energía de enlace gravitacional (debido al potencial propio), y la segunda es más una medida de la rigidez mínima de la materia involucrada.
Respuesta
Hay problemas con la forma en que se calcula el potencial y con la forma en que se calcula la energía de enlace gravitacional.
El campo gravitacional dentro de la esfera es radialmente hacia adentro y de magnitud $ GM_ {enc} / r ^ 2 = GMr / R ^ 3 $. El campo gravitacional fuera de la esfera es radialmente hacia adentro y de magnitud $ GM / r ^ 2 $.
El potencial gravitacional es el trabajo realizado por unidad de masa que lleva esa masa del infinito a $ r $.
El potencial en un radio $ r $ dentro de la esfera es $$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ {R} \ frac {GM} {r «^ 2} \ dr» + \ int_ {R} ^ {r} \ frac {GMr «} {R ^ 3} \ dr» $$ $$ V (r) = – \ frac {GM} {R} – \ frac {GM} {2R} + \ frac {GMr} {2R ^ 3} $$ $$ V (r) = \ frac {GM} {2R ^ 3} (r ^ 2 – 3R ^ 3) $$
Sin embargo, esto no es necesario para calcular la energía de enlace de una esfera, ya que la energía de enlace gravitacional es la suma de las energías necesarias para eliminar las capas de masa de la superficie de una esfera hasta el infinito ( imagina despegando capas de la superficie hasta llegar al centro).
El potencial en la superficie de una esfera de masa $ M «$ es $ -GM» / R «$, donde la densidad constante $ \ rho = 3M «/ 4 \ pi R» ^ 3 $. Así, $$ V (R «) = – \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R» ^ 2 $$ y la energía de enlace es igual a $ V (R «) $ multiplicado por la masa de un caparazón, $ dM = 4 \ pi R «^ 2 \ rho \ dR» $, integrado sobre capas de masa desde cero hasta el radio final de la estrella.
$$ U = – \ int_ {0} ^ {R} \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R «^ 2 \ 4 \ pi R» ^ 2 \ rho \ dR «$$ $$ U = – \ frac {16 \ pi ^ 2 G \ rho ^ 2 R ^ 5} {15} = – \ frac {3GM ^ 2} {5R} $$