¿Qué importancia física tiene el Grupo Heisenberg?

Es posible que le guste ver:

http://www.math.columbia.edu/~woit/QMbook/qmbook.pdf capítulo 13,

es decir, las conferencias «Mecánica cuántica para matemáticos: el grupo de Heisenberg y el Representación de Schrodinger «de Peter Woit, en la que se discute en detalle la importancia del grupo de Heisenberg. Pero su importancia física NO es como un grupo de simetrías de la situación física. Por lo tanto, tenga cuidado con las estrechas analogías entre la relación de conmutación canónica y la relación finita ( digamos $ n $ ) grupo de mentiras de Hiesenberg dimensional $ \ mathfrak {H} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ . La cosa en el lado derecho de la relación $ \ left [\ mathbf {x}, \, \ mathbf {p} \ right] = i \, \ hbar \, \ mathbf {i } $ en el álgebra de dimensión finita $ \ mathfrak {h} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ NO es la matriz de identidad – es simplemente algo que se conmuta con todo lo demás en el álgebra de Lie. Fue Hermann Weyl quien señaló que la relación de conmutación canónica no puede referirse a un álgebra de Lie de dimensión finita: en tales álgebras, un corchete de Lie $ \ left [\ mathbf {x}, \ , \ mathbf {p} \ right] $ (entre matrices cuadradas) tiene traza cero pero la matriz identidad (o un múltiplo escalar, como en el RHS del CCR) no. Uno tiene que pasar a los operadores en espacios de Hilbert de dimensión infinita ( $ eg $ $ p = i \, \ hbar \, d / dx $ ) para encontrar la plena realización de la relación de conmutación canónica.

Otra forma de entender que el comportamiento de la matriz de dimensión finita del álgebra de Lie de Heisenberg es radicalmente diferente del CCR es el propio principio de incertidumbre. El producto de las incertidumbres de RMS para las mediciones simuladas de dos observables que no cambian $ \ hat {a}, \ hat {b} $ dado un estado cuántico $ \ psi $ está delimitado desde abajo por el número real positivo $ \ frac {1} {2} \ left | \ left < \ psi | c | \ psi \ right > \ right | $ donde $ \ left [\ hat {a}, \ hat {b} \ right] = ic $ (ver sección 10.5 de la edición 3 de Merzbacher «Mecánica cuántica»). Si $ c $ es una matriz cuadrada finita y, como en el álgebra de Heisenberg, no tiene rango de fila completo, hay ciertos estados (aquellos en $ c $ «s espacio nulo) donde el producto de la incertidumbre puede ser cero. Por lo tanto, el álgebra matricial de dimensión finita no puede modelar el postulado físico de Heisenberg.

Ver también el artículo de Wikipedia sobre el grupo de Heisenberg.

Comentarios

• Comentario menor a la respuesta (v2): el signo en la representación de Schroedinger mostrada de $ p $ no es el signo convencional.