¿Qué significa el término exponencial en la transformada de Fourier?

Es una exponencial compleja que gira para siempre en el círculo unitario del plano complejo:

$$ e ^ {- j \ omega t} = \ cos (\ omega t) – j \ sin (\ omega t). $$

Puede pensar en la transformada de Fourier como un cálculo correlación entre $ f (t) $ y un exponencial complejo de cada frecuencia, comparando cuán similares son. Exponenciales complejos como ese tienen la buena calidad de que pueden ser tiempo desplazado multiplicándolos con un número complejo de unidades magni tude (una constante exponencial compleja). Si el resultado de la transformada de Fourier a una frecuencia particular es un número complejo no real, entonces el exponencial complejo de esa frecuencia se puede multiplicar por ese número complejo para cambiarlo en el tiempo para que la correlación con $ f (t) $ está maximizado.

Si no le gusta pensar en números imaginarios, números complejos y funciones, puede pensar alternativamente en el exponencial complejo en el FT como una abreviatura para combinar una onda senoidal y una onda cosenoidal (de la misma frecuencia) en una sola función que requiere menos tiza en la pizarra para escribir.

Ya sea la Transformada de Fourier o la Transformada de Laplace o la Transformada Z, etc., la exponencial es la función propia de operadores lineales e invariantes en el tiempo (LTI) . si una función exponencial de «tiempo» entra en un LTI, aparece una exponencial igual (pero escalada por el valor propio). lo que el F.T. lo que hace es descomponer una función general en una suma de estos exponenciales. que puede verse mirando la inversa Transformada de Fourier.

La transformada de Fourier:

$$ f (t) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} F (t) e ^ {i \ omega t} dt \\ F (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- i \ omega t} dt $$

convierte una función en una integral de funciones armónicas. Puedes pensar en estos como pecados y cosenos porque $ e ^ {i \ theta} = cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) $. La Transformada de Fourier como una forma continua de la Serie de Fourier que transforma cualquier señal periódica en una suma de otras señales periódicas reales (armónicas):

$$ f (t) = a_0 + \ sum_ {n = 1 } ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n \ sin (n \ omega t) $$

En la Transformada de Fourier, puedes pensar en los coeficientes $ a_n $ y $ b_n $ repasando los valores de una función continua. Para llevar la comparación más lejos, existe una versión compleja de la serie:

$$ f (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n e ^ {in \ omega t} = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n i \ sin (n \ omega t) $$

Comentarios

• Intente ceñirse a una variable independiente, ya sea $ t $ o $ x $, pero no ambas. Además, intente encontrar una palabra mejor que ‘ listenken ‘, que no ‘ No tiene ningún sentido aquí.
• También pierde $ \ omega $ en los argumentos de las sinusoides y la función exponencial: $ \ cos (n \ omega t) $, etc.
• @MattL. ¿Necesito $ \ omega $? La Transformada de Fourier tiene $ e ^ {i \ omega t} $, pero en la serie, » $ n $ » ocupa el lugar de $ \ omega $. ¿No es ‘ t así?
• No, $ \ omega = 2 \ pi / T $, donde $ T $ es el período de $ f (t) $, es decir, a menos que $ T = 2 \ pi $ necesite $ \ omega $.
• Ok. Entiendo lo que quieres decir.

Considera el caso $ \ f (t) = 2 \ cos (\ omega_0 t) = e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t}. \ $ Entonces

$$ F (\ omega) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega + \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega – \ omega_0) t} \ dt \\ $$

Cuando $ | \ omega | \ ne | \ omega_0 | $ , ambos integrandos oscilan alrededor de cero y las integrales son efectivamente cero.Los únicos resultados distintos de cero son

$$ F (\ omega_0) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ { i (0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (-2 \ omega_0) t} \ dt \ = \ \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt \ + \ 0 \\ F (- \ omega_0) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (2 \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (0) t} \ dt \ = \ 0 \ + \ \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt $$

que a menudo se expresa como $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta \ grande (\ omega – (- \ omega_0) \ grande) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta (\ omega + \ omega_0). $

En palabras, para cualquier valor dado del argumento $ \ omega $ , el $ e ^ {- i \ omega t} $ factor traduce el componente de $ f (t) $ en esa frecuencia a $ 0 $ y todos los demás componentes lejos de cero. Luego, la integral infinita produce una medida de la fuerza del componente en $ 0 $ .

Tenga en cuenta que si $ f (t) = e ^ {i \ omega_0 t} $ , luego $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) $ . Lo que esto realmente significa es que el signo de $ \ omega_0 $ se puede deducir sin ambigüedades de la función $ e ^ {i \ omega_0 t} $ . No se puede deducir de $ \ cos (\ omega_0 t) $ , porque es trigonométricamente idéntico a $ \ cos (- \ omega_0 t) $ . La transformada de Fourier maneja esta ambigüedad dando respuestas distintas de cero tanto en $ \ omega = \ omega_0 $ y $ \ omega = – \ omega_0 $ . Eso no significa que $ \ cos (\ omega_0 t) $ contenga ambas frecuencias, porque $ \ omega_0 $ solo puede tener un valor. La interpretación correcta es que $ e ^ {i \ omega_0 t} $ contiene más información, no menos, que $ \ cos (\ omega_0 t) $ . La fórmula $ \ e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t} \ $ parece más información, pero en realidad es una cancelación de información.

Comentarios

• » Eso no significa $ cos (\ omega_0 t) $ contiene ambas frecuencias, porque $ \ omega_0 $ solo puede tener un valor. » No. El coseno es la suma de dos tonos puros complejos de frecuencias opuestas (dos valores distintos). Lo que no puedes ‘ decir es el signo de $ \ omega_0 $. Cualquiera es una interpretación válida, similar a elegir una raíz cuadrada. Entonces, por convención, las frecuencias de los tonos puros con valor real se consideran positivas.
• @Cedron: considere una función $ f (x) = x ^ 2 + ix $. $ \ $ Y $ \ \ por lo tanto \ f (-x) = x ^ 2 -ix $ $ \ x ^ 2 = \ tfrac {1} {2} (f (x) + f (-x)) \ $ Debería ¿Concluimos que $ x ^ 2 $ es algo más que una función en la recta numérica real? ¿Está compuesto en secreto por dos funciones complejas? Si es así, ¿cuáles dos? … porque fácilmente podría haber definido $ f (x) $ como $ x ^ 2 + ix ^ 3 $.
• Esto no es ‘ t sobre la descomposición de funciones. Podrías haber dicho con la misma facilidad $ f (x) = x ^ 2 = x ^ {3/2} x ^ {1/2} $ por un argumento tan engañoso. La frase » contiene ambas frecuencias » está en el contexto de la FT (continua en este caso). Si $ cos $ solo tuviera una frecuencia, solo habría un valor distinto de cero en el espectro.
• No ‘ no creo que tenga sentido discutir cómo muchas frecuencias que contiene una señal general, sin estar de acuerdo sobre lo que significa » razonable » descomposición en funciones periódicas. Una frecuencia es simplemente una expresión abreviada de un componente periódico de una frecuencia . Una descomposición razonable no incluirá, por ejemplo, componentes que se cancelen completamente entre sí, o componentes que sean idénticos.
• @Olli – Gracias por la ayuda editorial con mis deltas. Pensé que no ‘ se veía bien, pero no ‘ no me di cuenta de por qué.