Sigo viendo los términos condiciones de primer orden y condiciones de segundo orden que se usan en mi clase de economía de pregrado sobre funciones de producción, monopolios, etc., pero no tengo idea qué significan estos términos. Parece un término completamente ambiguo. ¿Qué tipo de condiciones?
¿Alguien puede explicar qué significan estos términos? Si depende del contexto, proporcione algunos de los significados más elementales que asocie con el término.
Respuesta
Suponga que tiene una función diferenciable $ f (x) $, que desea optimizar eligiendo $ x $. Si $ f (x) $ es utilidad o ganancia, entonces desea elegir $ x $ (es decir, paquete de consumo o cantidad producida) para hacer que el valor de $ f $ sea lo más grande posible. Si $ f (x) $ es una función de costo, entonces desea elegir $ x $ para hacer que $ f $ sea lo más pequeño posible. FOC y SOC son condiciones que determinan si una solución maximiza o minimiza una función dada.
A nivel de pregrado, lo que suele ocurrir es que debes elegir $ x ^ * $ de manera que la derivada de $ f $ sea igual a cero: $$ f «(x ^ *) = 0. $$ Este es el FOC. La intuición para esta condición es que una función alcanza su extremo (ya sea máximo o mínimo) cuando su derivada es igual a cero (ver imagen a continuación). [Debe tener en cuenta que hay más sutilezas involucradas: busque términos como «soluciones de interior frente a esquina», «global frente a local máximo / mínimo» y «punto de silla» para obtener más información].
Sin embargo, como ilustra la imagen, simplemente encontrar $ x ^ * $ donde $ f «(x ^ *) = 0 $ no es suficiente para concluir que $ x ^ * $ es la solución que maximiza o minimiza la función objetivo. En ambos gráficos, la función alcanza una pendiente cero en $ x ^ * $, pero $ x ^ * $ es un maximizador en el gráfico de la izquierda, pero un minimizador en el gráfico de la derecha.
Para comprobar si $ x ^ * $ es un maximizador o un minimizador, necesita el SOC. El SOC del maximizador es $$ f «» (x ^ *) < 0 $$ y el SOC del minimizador es $$ f «» (x ^ *) > 0. $$ Intuitivamente, si $ x ^ * $ maximiza $ f $, la pendiente de $ f $ alrededor de $ x ^ * $ está disminuyendo. Tome el gráfico de la izquierda, donde $ x ^ * $ es un maximizador. Vemos que la pendiente de $ f $ es positiva a la izquierda de $ x ^ * $ y negativa a la derecha. Por lo tanto, alrededor del vecindario de $ x ^ * $, a medida que $ x $ aumenta, $ f «(x) $ disminuye. La intuición para el caso del minimizador es similar.
Comentarios
- Pero por qué ' no se llama " Prueba de primera derivada " sigue siendo un misterio para mí.
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Por ejemplo, cuando estás hablando de maximización de beneficios a partir de una función de beneficios $ \ pi (q) $, la condición principal para un máximo es que: $$ \ frac {\ partial \ pi} {\ partial q} = 0 $$ Este es el FOC (primer orden condición).
Sin embargo, para estar seguro de que lo que ha encontrado arriba es un verdadero máximo, también debe marcar una condición «secundaria» que es: $$ \ frac {\ parcial ^ 2 \ pi} {\ parcial q ^ 2} < 0 $$ Esto se denomina SOC (condición de segundo orden).
Respuesta
El objetivo es encontrar un máximo (o mínimo) local de una función.
Si la f la unción es diferenciable dos veces:
- La prueba de la primera derivada le dirá si es un extremo local.
- La prueba de la segunda derivada le dirá si es un máximo o un mínimo local.
En caso de que La función no es diferenciable, puede hacer una prueba extrema más general.
Nota: es imposible construir un algoritmo para encontrar un máximo global para una función arbitraria .
Los economistas neoclásicos ciertamente cambian el nombre de esos dos métodos matemáticos a condiciones de primer orden y condiciones de segundo orden para verse bien o por otras razones históricas. ¿Por qué usar un nombre ampliamente utilizado cuando puedes inventar uno?
El término también se usa en maximización restringida cuando usan el método del multiplicador de Lagrange y condiciones de Karush – Kuhn – Tucker . Una vez más, no creo que el término sea utilizado por personas que no son economistas.