Significado del espacio Fock

Suponga que tiene un sistema descrito por un espacio de Hilbert $ H $ , por ejemplo, una sola partícula. El espacio de Hilbert de dos partículas que no interactúan del mismo tipo que el descrito por $ H $ es simplemente el producto tensorial

$$ H ^ 2: = H \ otimes H $$

De manera más general, para un sistema de $ N $ partículas como arriba, el espacio de Hilbert es

$$ H ^ N: = \ underbrace {H \ otimes \ cdots \ otimes H} _ {N \ text {times}}, $$

con $ H ^ 0 $ definido como $ \ mathbb C $ (es decir el campo subyacente $ H $ ).

En QFT hay operadores que entrelazan las diferentes $ H ^ N $ s, es decir, crear y aniquilar partículas. Ejemplos típicos son los operadores de creación y aniquilación $ a ^ * $ y $ a $ . En lugar de definirlos en términos de su acción en cada par de $ H ^ N $ y $ H ^ M $ , uno puede dar una " completa " definición en el mayor espacio de Hilbert definido tomando la suma directa de todos -espacios de partículas, a saber.

$$ \ Gamma (H): = \ mathbb C \ oplus H \ oplus H ^ 2 \ oplus \ cdots \ oplus H ^ N \ oplus \ cdots, $$

conocido como el espacio de Fock Hilbert de $ H $ y, a veces, también se indica como $ e ^ H $ .

Desde un punto de vista físico, la definición general anterior del espacio Fock es irrelevante. Se sabe que las partículas idénticas observan una (para) estadística definida que reducirá el espacio de Hilbert real (por simetrización / antisimetrización para el caso bosónico / fermiónico, etc.).

Comentarios

• ¡Excelente respuesta! Ojalá escribieran los libros de texto de QFT como este.

Excelentes respuestas, pero solo para completar tal vez será ilustrativo tener un ejemplo.

Suponga que su $ H ^ 1 $ contiene algunos estados de una sola partícula $ | a \ rangle $, $ | b \ rangle $, etc. El espacio de Fock elimina la limitación en ser una sola partícula, y se compone de $ H ^ 0 $ (que es unidimensional), $ H ^ 1 $, $ H ^ 2 = H \ otimes H $, etc. permite estados como

• el estado de vacío, llamémoslo el ket $ | \ rangle $,
• todos los estados de una sola partícula, $ | a \ rangle, | b \ rangle, \ ldots $,
• todos los estados de dos partículas, $ | aa \ rangle, | ab \ rangle, | ba \ rangle, \ ldots $ (NB que esta construcción los considera distinguibles),

pero lo más importante

• cualquier superposición de lo anterior , como $ \ frac {e ^ {i \ pi / 4 }} {\ sqrt2} | \ rangle + \ frac12 | a \ rangle – \ frac12 | aab \ rangle \ otimes \ left (\ frac1 {\ sqrt2} | a \ rangle + \ frac i {\ sqrt2} | b \ rangle \ right) $.

Este espacio es inherentemente de dimensión infinita incluso si comienzas con algo pequeño como un qubit. Si desea imaginar el resultado con la ayuda de una base, simplemente concatenar las listas de los estados base de todos los componentes:

$$ \ {| \ rangle, | 0 \ rangle, | 1 \ rangle, | 00 \ rangle, | 01 \ rangle, | 10 \ rangle, | 11 \ rangle, | 000 \ rangle, | 001 \ rangle, \ ldots \} $$

En el En la configuración más trivial, la partícula única no tiene realmente ningún estado distinto, por lo que $ H ^ 1 $ es unidimensional. Todavía tiene sentido elegir un estado fiducial $ | {} \ circ {} \ rangle \ en H ^ 1 $ y construir el espacio Fock con base

$$ \ {| \ rangle =: | 0 \ rangle, | {} \ circ {} \ rangle =: | 1 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 2 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 3 \ rangle, \ ldots \}, $$

un ejemplo de un estado podría ser, digamos, un estado coherente

$$ | \ alpha \ rangle = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ alpha ^ n} {\ sqrt {e ^ {| \ alpha | ^ 2} n!}} | n \ rangle $$

y tienes un buen ejemplo de por qué la gente puede hablar de excitaciones como de «fonones» en un oscilador armónico, ¡aunque solo haya una partícula oscilando!

Sí, lo hace. Construyes un espacio Hilbert «grande» a partir de los «pequeños», si quieres.