¿Son los futuros exactamente Delta One?

El delta de reenvío es 1 (definido como cambio en el valor del forward con respecto a un cambio instantáneo en el precio del subyacente, manteniendo todo lo demás constante).

Sin embargo, para una discusión significativa de las diferencias en los precios a plazo y de futuros, se debe considerar el delta del precio a plazo de los contratos a plazo y es exp (r (Tt)). Aunque el delta de los dos es idéntico, El valor de una cartera que tiene un contrato a plazo frente a un contrato de futuros cambiará con el tiempo y este es el motivo: la diferencia surge del hecho de que las tasas de interés no son constantes sino aleatorias y los contratos a plazo son productos OTC que se liquidan al vencimiento mientras que los futuros se liquidan diariamente. Esta sutil diferencia conduce a diferentes flujos de efectivo porque el dinero que se deposita en su cuenta o que necesita desembolsar debido a las liquidaciones diarias de márgenes puede invertirse / debe tomarse prestado a las tasas de interés vigentes.

Por ejemplo, si el proceso de la tasa de descuento subyacente y el proceso del precio de los activos subyacentes están correlacionados positivamente, entonces si los precios de los activos suben a la inversa, las tasas de interés serán más bajas y los excedentes que se depositan en su cuenta diariamente deben invertirse a tasas más bajas. Lo contrario, cuando los precios de los activos caen, debe depositar un margen de variación y debe pedir prestado a tasas más altas. Por tanto, el contrato de futuros debe tener un precio inferior al del contrato a plazo de este ejemplo para que el contrato de futuros sea igualmente atractivo.

Comentarios

• Gracias Matt. Pero, si nos olvidamos del margen diario para el futuro por el momento … ¿Podemos derivar cómo delta no exactamente = 1 de la fórmula: f = valor del contrato futuro = S (t = 0) – K exp (-rT)? Tomo la derivada de f, r proviene de la curva de rendimiento es un número / flotante para un t dado (seguro que con el tiempo ‘ s no es una constante, pero leemos un número del rendimiento curva). No puedo ‘ ver por qué la primera derivada del segundo término con respecto a S no es ‘ exactamente cero.
• El delta para un forward no es 1. Es ‘ s exp (r (Tt)) como un futuro.
• No estoy de acuerdo. ¿Puede explicarme su derivación del delta delantero? Debe descontar el cambio en el valor, por lo que exp (r (T-t)) se cancela.
• @Matt Wolf. Dado que acepta que el precio a plazo es el precio al contado con descuento, debe quedar claro que el delta no puede ser 1. El costo de financiamiento para comprar el precio al contado cambia con el precio al contado con descuento. Por lo tanto, el delta es el factor de descuento.
• Edité mi respuesta para hacerla más precisa cuando los profesionales se refieren a un delta directo como 1 y cuando lo definen como exp (r (T-t)). Generalmente, aunque se considera un delta a plazo de 1 porque la mayoría de los comerciantes se preocupan por los cambios en las valoraciones y por establecer coberturas precisas y no por cómo cambian los precios a plazo en el futuro (la diferencia entre el precio y el valor de un contrato a plazo es importante).

Creo que hay confusión en torno al precio a plazo y el valor de un contrato a plazo. Un contrato a plazo obliga al intercambio de un activo en algún momento futuro $ T $. Por convención, este contrato a plazo tiene un valor inicial cero (en el momento $ 0 $).El contrato a plazo, que es un intercambio de un activo por una determinada cantidad en dólares en el futuro, tiene en unos $ t \ in [0, T] $ un valor de $ f (t, T) = S_t-Ke ^ {- r (Tt)} $. Este contrato claramente tiene un delta igual a uno.

Ahora considere el problema del precio «correcto» $ K $ en el momento cero. Por convención, $ f (0, T) = 0 $. Usando la ecuación $ S_t-Ke ^ {- r (T-t)} $ y despejando K en $ t = 0 $ se obtiene $ K = S_0e ^ {rT} $.

$ K $ no depende del tiempo: se fija en el tiempo cero. Sin embargo, en el momento $ t $ se puede iniciar otro contrato a plazo con vencimiento $ T $. El mismo argumento anterior arroja el precio de $ K $ en el momento $ t $ de $ S_t e ^ {r (T-t)} $. Para mostrar explícitamente esta dependencia de $ K $ con $ t $, ahora dejaré que $ F (t, T) $ denote el valor de $ K $ para un contrato a plazo con vencimiento $ T $ iniciado en el momento $ t $. Dado que $ F (t, T) = S_t e ^ {r (T-t)} $ el «delta» de $ F (t, T) $ es $ e ^ {r (T-t)} $.

Es importante notar que $ F (t, T) $ no es un activo: después de todo, el valor descontado de $ F (t, T) $ claramente no es una martingala bajo el riesgo- medida neutra. Es más natural tomar el delta del contrato a plazo, que es un activo.

En el momento $ t $, el precio de un contrato de futuros con vencimiento en el momento $ T $ es

$ F (t, T) = S (t) e ^ {r (Tt)}, $

donde $ S (t) $ es el precio al contado en el momento $ t $ y $ r $ es la tasa de interés. Por tanto, el delta del contrato de futuros es

$ \ frac {\ partial F} {\ partial S} = e ^ {r (T-t)}. $

Para $ r > 0 $ tenemos, por lo tanto, $ \ parcial F / \ parcial S > 1 $ por $ t < T $.

Comentarios

• F (t, T) = S ( t) er (T − t) es cómo se calcula el precio » justo » futuro / adelante. Pero una vez que se celebra un contrato, el precio futuro / futuro se vuelve constante K. Tanto K como r no son función de S. Si toma la primera derivada de f = [Valor del contrato futuro] = diferencia entre Spot y PV (K) = S (t = 0) – K exp (-rT) … primer término = 1.0 exactamente, y el segundo término debe ir a cero (como K / r / T todo constante con respecto a S)
• No ‘ sé lo que quieres decir con » el precio se vuelve constante «. Obviamente, el precio del contrato de futuros que posee es el precio justo actual del contrato de futuros (en un mercado eficiente).
• Gracias RPG, pero no ‘ t say » El precio se vuelve constante «. Dije que K (precio a plazo / futuro) de cualquier contrato futuro en particular que tomó posición es un número constante. Una vez que firmas un contrato, puedes ‘ t cambiar K.
• ¡Pero RPG gracias por tu esfuerzo!
• El precio de un contrato de futuros originado en $ t $ es $ S_t – F (t, T) e ^ {- r (Tt)} $. El » precio futuro » es $ F (t, T) = S_t e ^ {r (Tt)} $ de modo que el contrato en origen tiene valor cero. Por tanto, el delta de un contrato de futuros es 1.

Para Contrato futuro , estoy de acuerdo con @Matt en que su delta es exactamente uno .

Esto puede verse mediante el argumento habitual de no arbitraje, donde el contrato Forward largo 1, el subyacente corto 1 e invertir el procedimiento de venta corta en una cuenta de efectivo en el momento 0. Luego, en el vencimiento a plazo T, todo será liquidado con cero P & L. (es decir, usar la cuenta de efectivo en T para liquidar el pago del precio a plazo F, obtener un subyacente y usarlo para cerrar la posición de venta en corto).

Como durante toda la vida de esta cartera de cobertura autofinanciada, solo realizo 1 subyacente, por lo tanto, la cobertura es exactamente delta uno en cualquier momento.

Para contrato de futuros sin embargo, la cobertura no es exactamente delta uno, sino exp {r (Tt)}

Para una posición larga en un contrato de futuros, los flujos de efectivo intermedios de marcados -to-market irá a la cuenta de efectivo. Esta parte crecerá según la tasa de interés libre de riesgo (suponiendo que no sea aleatoria). Por lo tanto, no se debe considerar una cobertura para estos flujos de efectivo ya que no es un término estocástico. (aunque sí afecta el precio de los futuros como señaló @Matt debido a la correlación entre la tasa de interés y el subyacente, pero es otra cuestión).

El único término estocástico en la posición larga de futuros es el cambio de futuros precio (se puede mostrar que dF = sigma F dB). Es bien sabido que F = S * exp {r (T-t)}. Por cada cambio de 1 unidad de S, el precio de los futuros cambiará en exp {r (T-t)}, y eso contribuye al cambio en el valor de la posición de futuros.

Por lo tanto, el delta del contrato de futuros es exp {r (Tt)}

Debido a que el delta depende del tiempo, el hedge será dinámico y requerirá ajustes frecuentes a la posición de hedge, en comparación con una hedge estática de la posición Forward (siempre delta uno).

Tengo otra prueba de mi profesor, pero creo que solo puedo compartirla en privado. 🙂

Mirando la publicación, parece que es la definición de delta en sí, no los detalles de las fórmulas , eso es diferente

Pensé que el delta era la relación entre el cambio en el valor de la derivada y el cambio en la misma (unidad) cantidad de subyacente

La publicación parece estar diciendo que el delta es la razón de cambio de la derivada al cambio en la cantidad equivalente del subyacente

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