¿Alguien sabe cuál sería $ tr (t ^ at ^ bt ^ ct ^ d) $, donde $ t ^ a $ etc son matrices de Gell-Mann? Esto se produjo al analizar el factor de color para el efecto de compton para QCD. Entonces, debe ser bastante común, pero no pude encontrar una referencia adecuada. En general, ¿hay alguna referencia para el rastro de un número arbitrario de matrices Gell Mann?
Respuesta
Tomo la SU (N) generadores en la representación fundamental normalizados de manera que $$ \ text {Tr} \ left [T ^ a T ^ b \ right] = \ frac {1} {2} \ delta ^ {ab} $$
El conmutador de dos generadores define las constantes de estructura $ f ^ {abc} $
$$ \ left [T ^ a, T ^ b \ right] = if ^ {abc} T ^ c $$
El anticonmutador de dos generadores es
$$ \ left \ {T ^ a, T ^ b \ right \} = \ frac {1} {N} \ delta ^ { ab} 1 + d ^ {abc} T ^ c $$
donde por $ 1 $ me refiero a la matriz de identidad y $ d ^ {abc} $ son el «símbolo d» definido como
$$ d ^ {abc} = 2 \ text {Tr} \ left [\ left \ {T ^ a, T ^ b \ right \} T ^ c \ right] $$
Entonces, hay una identidad útil
$$ \ text {Tr} \ left [T ^ aT ^ bT ^ cT ^ d \ right] = \ frac {1} {4N} \ delta ^ { ab} \ delta ^ {cd} + \ frac {1} {8} \ left (d ^ {abe} d ^ {cde} – f ^ {abe} f ^ {cde} + if ^ {abe} d ^ { cde} + if ^ {cde} d ^ {abe} \ right) $$
Te sugiero esta referencia http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph218/sunid17.pdf donde se recopilan diferentes identidades de trazas. Para su caso, consulte la Ecuación 75 en el Apéndice B, página 9.
Verifique la normalización de los generadores antes de usar esta identidad.
Comentarios
- Como regla general, se desaconseja activamente el enlace sólo con las respuestas, porque si el enlace se apaga, la respuesta es inútil. Utilice Mathjax para editar las ecuaciones adecuadas para que la respuesta sea independiente.
- @Angela, si esto responde a su pregunta, debe marcarla como respondida.