Unidades en constante gravitacional

Bueno, la forma Para encontrar las unidades de la constante hay que considerar la ecuación en la que participa:

$$ F = G \ frac {m_1 m_2} {r ^ 2} $$

$ F $ es una fuerza: por lo que se mide en newtons ($ \ operatorname {N} $). Un newton es la fuerza requerida para dar a un kilogramo una aceleración de un metro por segundo por segundo: entonces, en unidades SI, sus unidades son $ \ operatorname {kg} \ operatorname {m} / \ operatorname {s} ^ 2 $. $ m_1 $ y $ m_2 $ son masas: en unidades SI se miden en kilogramos, $ \ operatorname {kg} $, y $ r $ es una longitud: se mide en metros, $ \ operatorname {m} $.

Entonces, nuevamente en unidades SI podemos reescribir lo anterior como algo como

$$ \ phi \ operatorname {N} = \ phi \ operatorname {kg} \ operatorname {m} / \ operatorname {s} ^ 2 = G \ frac {\ mu_1 \ mu_2} {\ rho ^ 2} \ frac {\ operatorname {kg} ^ 2} {\ operatorname {m} ^ 2} $$

donde $ \ phi $, $ \ mu_1 $, $ \ mu_2 $ y $ \ rho $ son números puros (son los valores numéricos de las diversas cantidades en unidades SI). Así que necesitamos obtener las dimensiones de este para que tenga sentido, y simplemente haciendo esto, es inmediatamente evidente que

$$ G = \ gamma \ frac {\ operatorname {m} ^ 3} {\ operatorname {kg} \ operatorname {s} ^ 2} $$

donde $ \ gamma $ es un número puro y es el valor numérico de $ G $ en unidades SI.

Alternativamente, si volvemos a poner newtons en el LHS obtenemos

$$ G = \ gamma \ frac {\ operatorname {N} \ operatorname {m} ^ 2} {\ operatorname {kg ^ 2}} $$

Para responder a esto, debemos echar un vistazo a la ecuación $ F_g = Gm_1m_2 / d ^ 2 $.Entonces, si G se mide en $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 $, y la masa se mide en kg y la distancia se mide en m, entonces la fuerza se mide con $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 \ cdot kg ^ 2 / m ^ 2 $, que se simplifica a $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $

Y ahora para definir $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $ tus instintos podrían sea dividirlo en $ \ rm m / s ^ 2 $ y kg. Si $ \ rm m / s ^ 2 $ es una unidad de aceleración y kg es una unidad de masa, entonces la fuerza debe ser la masa multiplicada por la aceleración. Esto es descrito por Sir Issac Newton PRS «describe la segunda ley del movimiento:

$ F = ma $

Por lo tanto, tiene sentido que la constante gravitacional G se mide en $ \ rm m ^ 3 / kg ^ 1 ~ s ^ 2 $.

Comentarios

• No estoy seguro de que » PRS » es necesario para describir a Newton

Es un problema.

Las constantes aluden a números puros, por lo que es divertido que una constante tenga unidades de medida.

Es un problema de ajuste. Encuentra, o adivina que algo depende de otra cosa, proporcionalmente como cuando x va de 3 a 4, y va de 6 a 8, (entonces y = 2 * x donde 2 es una constante) o inversamente proporcional (y = x / 2), así que cuando esté satisfecho de haber encontrado todo lo que puede afectar ese algo, prácticamente tiene su ecuación, como y = a x ^ 2 + bx + c la cuadrática simple en una dimensión o algo como w = x y.

El último paso es agregar constantes para que los números y los resultados coincidan.

Sin embargo, si por sus principios de unidades de medida las unidades no coinciden, tiene un problema. Se sacrificará por esto si su constante se mantiene a pesar de que tiene unidades, pero quizás tenga en cuenta que hay más en la ecuación que esta simplificación o, por supuesto, que su idea original de las unidades de medida tiene un defecto. Es más complicado que redefina sus primeros principios, es decir, la velocidad no es metros / segundos, así que dejemos eso por ahora.

La ecuación gravitacional en esta forma también es muy similar a la ley de Coulombs, demasiado similar de hecho, ambas son en su mayoría guías decir que la fuerza es proporcional a las masas de los objetos e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia (en el caso de la gravedad)

Obtienes cuadrados nítidos con la fuerza gravitacional, es decir (kg / m) 2, así que si todo está al cuadrado, puede que se pregunte qué es kg / m.

Por ejemplo: los cuadrados aparecen cuando se agrega ng cosas a través de la integración, integra otro concepto matemático fino que, sin embargo, al menos gráficamente, es una aproximación.

Entonces decimos si y = x ^ 2 entonces dy / dx = 2x y la integración es lo contrario de la diferenciación , usando la notación «Integral de x» como I (x), entonces I (2x) = 2 * (x ^ 2) / 2 + K (siempre agregamos una constante en la integración para la parte faltante.

Entonces, quizás la fuerza (gravitacional) es f = I (algo) de modo que termina al cuadrado.

Force es un animal divertido. Tienes cosas como impulsos como tienes cosas como energía, trabajo y poder, todos ellos conceptos en física, conectados. Por ejemplo, iirc work = power * time, pero eso es solo sentido común, así que me detendré aquí.

Agregado:

Para comenzar a pensar en kg / my qué es eso, una cosa que me vino a la mente, estos dos están conectados cuando algo viaja una distancia, ¿cómo depende la distancia en la misa? Bueno, ciertamente cuando tienes fricción, la masa importa. También puedes pensar en la densidad, que es masa / volumen.

Entonces F ~ volumen ^ 2 y tal vez F = volumen algo, eso lo devuelve a kg m / s ^ 2. algo que en lo local perceptible es estable, constante. Tenga en cuenta que si F = I (x) y tiene m / s ^ 2, hay una relación integral entre la velocidad y la aceleración (s = v t + a t / 2) donde s es distancia, v es velocidad, a es aceleración yt tiempo. Tenga en cuenta que la integración también es subjetiva, se integra sobre algo, por lo que si w = x y y tanto xey son variables, puede integrar w sobre x y puede integrar w sobre y. Estos son / (pueden ser) aditivos siempre que sean independientes porque si y = f (x) puede ir a una sola variable w = x f (x) => w = g (x)

Dado que esta pregunta tuvo 46K (!) vistas, puede ser útil agregar una respuesta incluso después de 4 años.

$ G $ es una constante experimental requerida para igualar la energía potencial de Newton para experimentar. La energía potencial de Newton es $$ E_P = – \ frac {GM m} {r} ~. $$ Dividiendo por la energía $ mc ^ 2 $ obtienes el adimensional potencial $$ V = – \ frac {GM} {c ^ 2r} ~. $ $ Dado que $ V $ no tiene dimensiones $ GM / c ^ 2 $ es una longitud. Esta longitud se interpreta como la mitad del radio de un agujero negro con masa M, $ r_M / 2 $ . G tiene la dimensión $ m ^ 3 kg ^ {- 1} s ^ {- 2} $ .Por lo tanto, también puede escribir el potencial adimensional como $$ V = r_M / 2r $$ donde la única constante es una longitud con una interpretación clara aunque exótica.

La interpretación más directa – una que trasciende la división del paradigma entre la física relativista y no relativista, y está conectada a la ecuación de Raychaudhuri, es eso en términos de la contracción del volumen.

Una nube que rodea un cuerpo de masa $ M $ , cuyos constituyentes están todos en movimiento radial, tiene un volumen que en función del tiempo $ V (t) $ satisface la ecuación $$ \ frac {d²V} {dt² } – \ frac {2} {3V} \ left (\ frac {dV} {dt} \ right) ^ 2 = -4πGM. $$ Si inicialmente está parado, entonces la aceleración inicial del volumen, bajo el fuerza de gravedad, es $ – 4πGM $ , el negativo indica que comienza a contraerse.

Entonces, las unidades para $ GM $ son metros cúbicos por segundo, por segundo.

La generalización de esto a una $ n + 1 $ espacio-tiempo dimensional es $$ \ frac {d ^ 2V} {dt ^ 2} – \ frac {n -1} {nV} \ left (\ frac {dV} {dt} \ right) ^ ² = -n \ frac {π ^ {n / 2}} {(n / 2)!} G_n M, $$ usando la convención $ (- 1/2)! = \ sqrt {π} $ , donde $ G_n $ es el $ n $ – versión dimensional del coeficiente de Newton; cuyas unidades serían metroⁿ / (segundo² kilogramo).