Variante del rompecabezas Hopping Frogs

Hay un viejo rompecabezas que tiene varios nombres como Toads and Frogs, Jumping Frogs, Hopping Frogs, Leap Frog, etc., y que se ha preguntado aquí antes . Me gustaría compartir una variante de este rompecabezas que se me ocurrió y que no he visto en ningún otro lugar.

Hay una fila recta de 9 cuadrados (o nenúfares si lo prefiere), cada uno suficientemente grande para contener como máximo una rana. El cuadrado del medio está vacío y hay 8 ranas en los otros cuadrados. Las cuatro ranas que comienzan a la izquierda solo pueden moverse hacia la derecha, y las ranas que comienzan a la derecha solo pueden moverse hacia la izquierda. El objetivo es que los dos grupos de ranas se pasen entre sí para intercambiar lugares.

En la versión original del rompecabezas, una rana puede caminar hacia adelante un cuadro o saltar hacia adelante dos cuadros, siempre que Por supuesto que la casilla de destino es la vacía. Entonces comienzan como:

AAAA.BBBB 

Los primeros movimientos son:

AAA.ABBBB AAABA.BBB AAABAB.BB 

y eventualmente, si haces las cosas correctamente, terminarán como:

BBBB.AAAA 

En mi nueva variante, una rana solo puede saltar hacia adelante dos o tres cuadrados (es decir, saltar sobre una o dos ranas más hasta el cuadrado vacío); no pueden avanzar solo un cuadrado.

Pregunta 1:
¿Cómo pueden pasarse los dos grupos de cuatro ranas usando solo saltos hacia adelante de dos o tres cuadrados?

Pregunta 2:
La misma pregunta, pero ahora con una fila de 13 cuadrados y dos conjuntos de seis ranas.

Más información:
Usé una computadora para buscar soluciones con otros números de ranas. Mientras que la versión original se puede resolver con cualquier número de ranas a la izquierda y cualquier número a la derecha, mi variante parece no tener solución si los números de la izquierda y la derecha son diferentes. Cuando son iguales, se puede resolver para 2 + 2, 4 + 4, 6 + 6, 8 + 8, 9 + 9, 10 + 10, 11 + 11 y 12 + 12 ranas, pero no he buscado más . Aunque todavía no he examinado las soluciones óptimas muy de cerca, a primera vista no hay un patrón obvio para ellas, por lo que no sé si es posible una solución óptima general. Bien puede haber una solución general que no sea óptima en todos los casos.
Esperaba que se hubiera analizado una variante tan obvia antes, pero si es así, no la he encontrado.

Editar: :
Resulta que mi programa de computadora tenía errores. El rompecabezas se puede resolver cuando el número de ranas en cada lado es diferente, excepto en algunos casos. Volví a analizar los casos con hasta 12 ranas a cada lado, y las únicas que no tienen solución son: 1 + 0, 1 + 1, 3 + 1, 3 + 3, 4 + 1, 4 + 3, 5 + 4, 5 + 5 , 6 + 1, 6 + 3, 7 + 4, 7 + 7, 9 + 1 y 9 + 4.
Existe una solución general para números pares de ranas. Gracias a astralfenix por la observación que me llevó a Para las ranas 2r + 2s usa movimientos r + s + 3rs, lo cual no es del todo óptimo en todos los casos.

Comentarios

• ¿Es esto ¿Es la misma persona que administra jaapsch.net? Si es así, ' me gustaría decir que su sitio web es extremadamente interesante e informativo; lo he estado siguiendo por un tiempo 🙂 Gracias por ejecutar un conjunto de análisis tan exclusivo.
• @TheGreatEscaper: Sí, jaapsch.net es mi sitio. En él hay una página sobre la versión estándar del rompecabezas Hopping Frogs .