Ich möchte die Ableitung der Frequenzdarstellung eines Impulszugs durchgehen.
Die Definition der Impulszugfunktion mit der Periode $ T $ und der Frequenzdarstellung mit der Abtastfrequenz $ \ Omega_s = 2 \ pi / T $, die ich ableiten möchte, ist:
\ begin {align *} s ( t) & = \ sum \ limit_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t – nT) \\ S (j \ Omega) & = \ frac {2 \ pi} {T} \ sum \ limit_ {k = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (\ Omega – k \ Omega_s) \\ \ end { align *}
Die Verwendung der exponentiellen Fourier-Reihen-Darstellung der Impulsfunktion und das Anwenden der Fourier-Transformation von dort führt zu:
\ begin {align *} s (t) & = \ frac {1} {T} \ sum \ limit_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} \\ S (j \ Omega ) & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty s (t) e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ int _ {- \ i nfty} ^ \ infty \ frac {1} {T} \ sum \ limit_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ frac {1} {T} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ sum \ limit_ {k = – \ infty} ^ { \ infty} e ^ {- j (k \ Omega_s + \ Omega) t} dt \\ \ end {align *}
Um von dort zum Endergebnis zu gelangen, scheint die Integration so zu sein müssen über einen Zeitraum von $ 2 \ pi $ sein. Wenn $ \ Omega = -k \ Omega_s $, wäre der Exponent $ e ^ 0 $ und würde in $ 2 \ pi $ integriert, und für andere Werte von $ \ Omega $ würde es eine vollständige Sinuswelle geben, die sich in Null integrieren würde. Die Grenzen der Integration liegen jedoch zwischen negativer Unendlichkeit und positiver Unendlichkeit. Kann jemand das erklären? Danke!
Antwort
Sie haben richtig herausgefunden, dass die vorkommenden Integrale nicht im herkömmlichen Sinne konvergieren. Die einfachste (und Eine definitiv nicht strenge Methode, um das Ergebnis zu sehen, besteht darin, die Fourier-Transformationsrelation
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega) $$
durch Verschieben / zu notieren. Modulationseigenschaft, die wir haben
$$ e ^ {j \ Omega_0t} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega- \ Omega_0) $$
Also jeder Term $ e ^ { jn \ Omega_s t} $ in der Fourier-Reihe wird in $ 2 \ pi \ delta (\ Omega-n \ Omega_s) $ umgewandelt, und das Ergebnis folgt.
Kommentare
- Das ist perfekt und viel einfacher als ich es mir vorgestellt habe. Vielen Dank !!!
- Die andere Antwort war auch richtig. Ich habe die akzeptierte gewechselt.
Antwort
@MattL schlug eine schöne, einfache Möglichkeit vor, das obige Ergebnis zu sehen.
Aber wenn Wenn Sie das Ergebnis in den von Ihnen erwähnten normalen Analysegleichungen sehen möchten, können Sie dies wie folgt tun.
Sagen wir, S (t) ist eine periodische Folge von Impulsen. So kann S (t) geschrieben werden als
$$ \ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty } ^ {\ infty} \ delta (t-nT) $$
Wenn Sie nun die Fourier-Reihe von S (t) nehmen, können Sie S (t) als
schreiben $$ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} C_ke ^ {jnw_ot} $$
Wobei $ C_n $ exponentielle Fourierreihenkoeffizienten sind und $ w_o $ die Grundfrequenz.
Aus exponentiellen Fourier-Reihen wissen wir also, dass
$$ C_n = (1 / T) \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} S ( t) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Ersetzen Sie nun im obigen Ausdruck den Wert von S (t) durch den ersten Ausdruck.
Also $$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ delta (t-nT) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Nun müssen Sie eine Beobachtung machen, wenn Sie das Integral beobachten, ist es von -T / 2 bis + T / 2. Beachten Sie während dieser Integralperiode, dass nur ein einziger Impuls $ \ delta (t) $ existiert. Alle anderen Impulsfunktionen in der Summation treten nach T / 2 oder vor -T / 2 auf. Insgesamt kann die obige Gleichung für $ C_n $ also als
$$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t) e geschrieben werden ^ {- jnw_ot} $$
Aus der Sichtungseigenschaft können wir das Obige schreiben als
$$ C_n = (1 / T) e ^ {- jw_on (0)} = ( 1 / T) $$
Setzen Sie nun diesen Wert von $ C_n $ in die erste S (t) -Gleichung
$$ S (t) = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {jnw_ot} $$
Finden Sie nun die Fourier-Transformation der obigen Gleichung
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w) $$
$$ e ^ {jw_ot} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w-w_o) $$
Die Fourier-Transformation ist also $$ S (jw ) = (2 \ pi / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (w-nw_o) $$
Dies sollte helfen.