Ist es möglich, das Gaußsche Gesetz des Elektromagnetismus zu verwenden? (Der elektrische Nettofluss durch eine geschlossene Oberfläche beträgt $ 1⁄ \ epsilon $ mal die elektrische Nettoladung, die in dieser Oberfläche eingeschlossen ist.) um das Gravitationsfeld am Punkt zu berechnen, indem bestimmte Änderungen vorgenommen werden, dh indem der elektrische Fluss durch den Gravitationsfluss ersetzt wird, $ 1⁄ \ epsilon $ durch $ 1 / (4 \ pi \, G) $ und mit Masse aufladen?
Kommentare
- Siehe z. B. Wikipedia .
Antwort
Ja, Sie können das Gaußsche Gesetz für die Schwerkraft verwenden.
$$ \ nabla \ cdot \ vec {g} = 4 \ pi \, G \, \ rho $$
oder
$$ \ oint \ vec {g} \ cdot \ mathrm {d} \ vec {a} = 4 \ pi \, G \, M_ \ mathrm {enc} $$
wobei $ \ vec {g} $ das Gravitationsfeld ist (äquivalent Beschleunigung) aufgrund der Schwerkraft) ist $ \ rho $ die Massendichte und $ M_ \ mathrm {enc} $ die Gesamtmasse, die von der Gaußschen Oberfläche eingeschlossen wird.
Wenn Sie den Vergleich durchführen Nach dem Gaußschen Gesetz für elektrische Felder können Sie sehen, wie die Konstanten so funktionieren, wie sie funktionieren:
$$ E = \ frac {1} {4 \ pi \, \ epsilon_0} \ frac {Q} {r ^ 2}, \ quad \ quad g = G \, \ frac {M} {r ^ 2}, $$
also $ 1 / \ epsilon_0 \ rightarrow 4 \ pi \ , G $.
Eine gebräuchliche Verwendung des Gaußschen Gravitationsgesetzes ist die Bestimmung der Gravitationsfeldstärke in einer bestimmten Tiefe innerhalb der Erde. Es ist der Berechnung für das elektrische Feld in einer geladenen, isolierenden Kugel sehr ähnlich.
Kommentare
- In meinem ursprünglichen Beitrag habe ich die Konstanten durcheinander gebracht … behoben
- In der Tat die enge Übereinstimmung zwischen dem Feldfluss in Einsteins ' Behandlung mit Newton ' s für ein sphärisch symmetrisches schwaches Feld kann mit diesem Gauß ' -Gesetz-Ansatz demonstriert werden.
Antwort
Das Gaußsche Gesetz für die Schwerkraft besagt im Grunde, dass der gesamte Gravitationsfluss, der von einer die Erde umgebenden Kugel ausgeht, $ 4 \ pi GM $ ist.
Teilen Sie dies nun durch die Gesamtfläche der Kugel $ 4 \ pi R ^ 2 $ mit $ R $ der Radius der Erde.
Das Ergebnis ist $ \ frac {GM} {R ^ 2} $ , das den Gravitationsfluss angibt Dichte. Wenn Sie das numerische Ergebnis berechnen, erhalten Sie $ 9.81 \ mathrm {m / s ^ 2} $ .