Der Feynman-Kac-Satz besagt, dass für einen Ito-Prozess der Form $$ dX_t = \ mu (t, X_t) dt + \ sigma (t , X_t) dW_t $$ gibt es eine messbare Funktion $ g $, so dass $$ g_t (t, x) + g_x (t, x) \ mu (t, x) + \ frac {1} {2} g_ {xx } (t, x) \ sigma (t, x) ^ 2 = 0 $$ mit einer geeigneten Randbedingung $ h $: $ g (T, x) = h (x) $. Wir wissen auch, dass $ g (t, x) $ die Form $$ g (t, x) = \ mathbb {E} \ left [h (X_T) \ big | hat X_t = x \ right]. $$
Dies bedeutet, dass ich eine Option mit der Auszahlungsfunktion $ h (x) $ zu $ T $ bewerten kann, indem ich die Differentialgleichung ohne Berücksichtigung des stochastischen Prozesses löse.
Gibt es eine intuitive Erklärung, wie es möglich ist, das stochastische Verhalten des Ito-Prozesses durch eine Differentialgleichung zu modellieren, obwohl die Differentialgleichung keine stochastische Komponente hat?
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- Innerhalb der Erwartung sollte ‚ nicht $ h (X_T) $ anstelle von $ h (X_t) $ gesetzt werden ?
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Martingale + Markovian
Hier ist die Motivation. Bedingte Erwartungen sind Martingale durch die Turmeigenschaft bedingter Erwartungen (eine leicht zu zeigende Übung). Angenommen, $ r = 0 $ ist nach dem risikoneutralen Preissatz $ E ^ \ star \ left [h (X_T) \ bigg | \ mathscr {F} _t, \, X_t = x \ right] $ der Preis eines Derivats Wertpapier mit $ X $ als Basiswert und Auszahlungsfunktion $ h $ unter der Annahme, dass das zugrunde liegende Wertpapier und das Derivat selbst keine Zwischen-Cashflows zahlen. In einer markovschen Umgebung muss der Preis des Derivats eine messbare Funktion des aktuellen Vermögenspreises und nur der Restlaufzeit sein, beispielsweise eine Funktion $ g (t, x) $. Dann ist nach Itos Lemma $ d (g (t, x)) = \ ldots $. Da $ g $ ein (verschobenes) Martingal ist, muss der Driftterm gleich Null sein Die Randbedingung stammt aus keiner Arbitrage. Beachten Sie dies, indem Sie notieren, was $ g (T, x) $ aus der zuerst gegebenen Definition ist (denken Sie an die Messbarkeit, wenn Sie bedingte Erwartungen annehmen).
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- Danke. Was ist $ \ mathscr {F} _t $?
- Es ist eine Sigma-Algebra aus einer Filtration. en.wikipedia.org/wiki/Filtration_(mathematics)
- @ user25064 – es ergänzt meine Antwort ziemlich gut +1
- @Raphael – denken Sie nur an $ \ mathscr F_t $ als die bis zum Zeitpunkt $ t $ verfügbaren Informationen. In der vertikalen Leiste wird “ mit “ angezeigt, sodass beim Schreiben dieser Erwartung nichts angezeigt wird vor dieser Zeit nehmen Sie ‚ überhaupt keine Erwartungen und es kann außerhalb der gleichen Weise liegen, wie es eine Konstante tun würde. Wie $ E [X_ {t- \ epsilon} | \ mathscr F_t ] = X_ {t- \ eps ilon} $. In dieses Buches gibt es eine relativ gute Erklärung für bedingte Erwartungen.
Antwort
Der Satz von Feynman-Kac ist vor allem im Preiskontext sinnvoll. Wenn Sie wissen, dass eine Funktion die Feynman-Kac-Gleichung löst, können Sie die Lösung als Erwartung in Bezug auf den Prozess darstellen. ( verleihen Sie dieses Dokument )
Andererseits löst eine Preisfunktion die FK-PDE. Daher würde man oft versuchen, die PDE zu lösen, um eine Preisformel in geschlossener Form zu erhalten. ( verleihen dies Dokument ab Seite 22 )
Sie würden den Feynman-Kac nicht verwenden, um einen stochastischen Prozess zu simulieren. Andererseits können Sie einen stochastischen Prozess verwenden, um eine Lösung für die FK-PDE zu finden ( siehe hier )
Bearbeiten 26.02.2014: Ich habe ein Dokument gefunden, das versucht, den Zusammenhang zwischen der Übergangsdichte und der FK-PD zu erklären ( siehe hier ab Seite 5 )
Es besteht auch ein Zusammenhang zwischen der FK-Formel und den Sturm-Liouville-Gleichungen, die für die Zerlegung verwendet werden können von Brownschen Pfaden. ( siehe dieses Dokument )
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- Vielen Dank für die Links! In Ihrem Beitrag werden verschiedene Anwendungen und Verwendungszwecke für das Feynman-Kac-Theorem erläutert. Mein Hauptinteresse an dieser Stelle ist es zu verstehen, warum der Satz wahr ist, dh die Intuition hinter dem Satz.
- Ich würde hier den Beweis vorschlagen: en. wikipedia.org/wiki/Feynman%E2%80%93Kac_formula Das Lesen von Beweisen hilft oft zu verstehen, wie ein Satz entsteht. Oder interessieren Sie sich für eine Erklärung aus Sicht der Phyiscs?
Antwort
So wie ich es mir vorstelle Es ist so, dass die PDE den Fluss einer zeitabhängigen Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt. Der stochastische Prozess beschreibt einzelne Realisierungen (zufällige Spaziergänge mit einer Drift), aber wenn Sie eine große Anzahl von ihnen ausgeführt haben, würden Sie eine Verteilung aufbauen.
Die PDE gibt an, wie sich diese Verteilung zeitlich (erster Term) aufgrund deterministischer Drift (zweiter Term) und Diffusion (dritter Term) ändert. Dies ist die Verbindung zwischen „vielen zufälligen Wanderern“ und der Ausbreitung Wahrscheinlichkeitsverteilung, die beschreibt, wie weit sie im Durchschnitt gekommen sind. Normalerweise beginnt die Wahrscheinlichkeitsverteilung aufgrund der bekannten Anfangsbedingung als Delta-Funktion.
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- Ich bin etwas verwirrt. Wir haben die PDE der Preisfunktion $ g (t, x) $ abgesehen von Drift und Volatilität gibt es nicht viele Informationen, die Sie von der FK-PDE in Bezug auf die Verteilung erhalten können
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Gehen wir diese Antwort in zwei Schritten an.
Zuerst: Ich finde es ziemlich intuitiv, dass es für eine gegebene stochastische PDE eine deterministische PDE gibt, die die Dichte zu einem späteren Zeitpunkt entwickelt. Diese Gleichung ist die vorwärtsgerichtete Kolmogorov- oder Fokker-Plank-Gleichung. Warum ist es intuitiv? Man kennt auch die zukünftige Verteilung einer Brownschen Bewegung (per Definition), warum sollte sich dies für einen komplexeren stochastischen Begriff ändern?
Zweitens, sobald Sie die Vorwärtsgleichung erhalten haben, ist es auch eine Frage der Mathematik Leiten Sie eine zeitumgekehrte Version davon ab. Dies ist die Feynman-Kac-Gleichung, die eine zeitliche Verteilung rückwärts propagiert.