Kommentare
- Die Zeit ist unendlich – dh das fallende Objekt ' s Geschwindigkeit ist niemals genau so schnell wie die Endgeschwindigkeit. Wenn Sie wissen möchten, wie lange es dauert, bis 99% der Endgeschwindigkeit erreicht sind, ist dies eine bessere Frage!
- @alephzero: Nun, in einem realistischeren Szenario, in dem die Dichte in der Nähe von höher ist Boden, ein Objekt, das von hoch genug über fällt, erreicht schließlich seine " Endgeschwindigkeit " (momentan relativ) auf die Stromdichte). Und dann sinkt seine Geschwindigkeit, wenn die Luft dichter wird, und das Objekt erreicht tatsächlich den Boden mit superterminaler Geschwindigkeit.
- Wenn ein Objekt einen unterschiedlichen Luftwiderstand hat (z. B. ein Fallschirmspringer oder nicht) eine Kugel und taumelt), wird ihre Endgeschwindigkeit je nach Ausrichtung unterschiedlich sein. In diesem Szenario kann es manchmal die Endgeschwindigkeit überschreiten.
- @Ben: Selbst für eine Kugel ist der Luftwiderstand nicht konstant, da Cd normalerweise mit der Reynolds-Zahl variiert, die bis zum Terminal kontinuierlich abnimmt Geschwindigkeit erreicht ist.
Antwort
Ein fallendes Objekt erreicht nicht die Endgeschwindigkeit. es nähert sich asymptotisch der Endgeschwindigkeit gemäß der Formel $$ v = \ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho A C_d}} \ tanh {\ left (t \ sqrt {\ frac {g \ rho A C_d} {2m}} \ right)}. $$ Hier ist $ m $ die Masse des Objekts $ g $ ist die Erdbeschleunigung, $ \ rho $ ist die Dichte der Flüssigkeit, durch die sich das Objekt befindet $ A $ ist der projizierte Bereich des Objekts und $ C_d $ ist der Widerstandsbeiwert
Also $$ v_t = \ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho A C_d}} $$ ist die Endgeschwindigkeit und $$ \ tau = \ sqrt {\ frac {2m} {g \ rho A C_d}} = \ frac {v_t} {g} $$ ist die Zeitskala wobei die Endgeschwindigkeit gemäß $$ v = v_t \ tanh {\ frac {t} {\ tau}} angefahren wird. $$ Bei $ t = \ tau $ the Objekt ist bei 76% der Endgeschwindigkeit. Bei $ t = 2 \ tau $ befindet sich das Objekt bei 96% der Endgeschwindigkeit. Bei $ t = 3 \ tau $ liegt sie bei 99,5% der Endgeschwindigkeit.
Kommentare
- Beachten Sie, dass $ \ tanh x \ ungefähr 1 – 2 e ^ {- 2x} $ für große $ x $ gilt, sodass die Differenz zwischen $ v $ und Endgeschwindigkeit mit der Zeit ungefähr exponentiell abnimmt. Dies kann eine hilfreiche Faustregel sein. Wenn $ v $ zu einem bestimmten Zeitpunkt 1% unter $ v_t $ und 0,5% unter $ v_t $ 10 Sekunden später liegt, liegt $ v $ 10 Sekunden später um 0,25% unter $ v_t $.