Gravitationsbeschleunigung auf Mond und Mars

Let “ s sehen, wie die Erdbeschleunigung für jeden Planeten erhalten wird, und dann können wir sie auf die Erde oder den Mond oder was auch immer wir wollen anwenden.

Newtons Gravitationsgesetz sagt uns, dass die Größe der Die Gravitationskraft zwischen Objekten der Massen $ m_1 $ und $ m_2 $ ist gegeben durch \ begin {align} F = G \ frac {m_1m_2} {r ^ 2}, \ end {align}, wobei $ r $ der Abstand zwischen ihren Objekten ist Massenschwerpunkte. Angenommen, Objekt 1 ist ein Planet mit der Masse $ m_1 = M $ und dem Radius $ R $, und Objekt 2 ist ein viel kleineres Objekt mit der Masse $ m_2 = m $, das sich in einer Höhe $ h $ über der Oberfläche des Planeten befindet das ist klein im Vergleich zum Radius des Planeten. Die Größe der Gravitationskraft zwischen den beiden Objekten wird andererseits \ begin {align} F = G \ frac {Mm} {(R + h) ^ 2} \ end {align} sein, wie Newtons zweites Gesetz sagt Wenn die Beschleunigung von Objekt 2 \ begin {align} F = ma \ end {align} erfüllt, führt die Kombination dieser Tatsachen, nämlich das Gleichsetzen der rechten Seite, dazu, dass die Masse $ m $ aus den Gleichungen herausfällt und die Beschleunigung Aufgrund der Schwerkraft des Massenobjekts wird $ m $ \ begin {align} a = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} = \ frac {GM} {R ^ 2} \ left (1-2 \ frac {h} {R} + \ cdots \ right) \ end {align} wobei ich in der zweiten Gleichheit eine Taylor-Erweiterung der Antwort in Bezug auf die kleine Zahl $ h / R $ durchgeführt habe. Beachten Sie, dass dies null ist Ordnung, nämlich der dominante Beitrag, wenn sich Objekt 2 nahe der Oberfläche des Planeten befindet, ist eine Konstante, die unabhängig von der Höhe ist und nur von der Masse und dem Radius des Planeten abhängt; \ begin {align} a_0 = \ frac {GM } {R ^ 2} \ end {align} Genau das nennen wir normalerweise die Erdbeschleunigung in der Nähe von Oberfläche eines Planeten. Wenn Sie die Zahlen für Earth eingeben, erhalten Sie \ begin {align} a_0 ^ \ mathrm {Earth} \ ca. 9,8 \, \ mathrm {m} / \ mathrm {s} ^ 2 \ end {align} und I “ Ich überlasse es Ihnen, die Anzahl für andere Planeten zu bestimmen. Die wichtige Eigenschaft dieser Erdbeschleunigung ist, dass sie linear mit der Masse $ M $ des Planeten skaliert und wie die negative zweite Potenz des Radius des Planeten skaliert Planet.

Kommentare

• Ich denke, es ist auch nützlich, die Auswirkungen der Zentrifugalkraft aufgrund der Winkelgeschwindigkeit eines Himmelskörpers zu erwähnen. $ $ a_c = \ frac {v ^ 2} {R} $$ Ein weiterer Effekt davon ist, dass sich der Körper selbst um den Äquator wölbt und den Oberflächenradius in der Nähe des Äquators vergrößert (in der Nähe der Pole absenkt).

Die als $ g $ für die Erde definierte Gravitationsbeschleunigungskonstante hängt von der Masse der Erde und der Entfernung von ihr ab. Die Formel ist $ g (r) = \ frac {GM (r)} {r ^ 2} $. (Siehe Newton L. aw of Universal Gravitation für weitere Einzelheiten). $ G $ ist also selbst auf der Erde keine Konstante, sondern hängt von Ihrer Höhe ab, wenn auch eher langsam. Wenn Sie sich im Mond befinden, ist die Masse des Mondes $ (~ 10 ^ {22} kg) $ geringer als die der Erde $ (~ 10 ^ {24} kg) $ und damit die Gravitationskraft, die Sie fühlen würden, $ mg $ wäre weitaus geringer, da $ g $ kleiner ist, etwa 1,62 m / s ^ 2 $.

Außerdem sind die Einheiten von $ g $ $ m / s ^ 2 $ und nicht $ N / s ^ 2 $

Eine einfache Möglichkeit, darüber nachzudenken, besteht darin, zu berücksichtigen, dass die Beschleunigung der Schwerkraft an der Oberfläche eines Planetenkörpers im Wesentlichen von zwei Größen abhängt: der Masse des Körpers und dem Radius

Die Oberflächenbeschleunigung nimmt mit der Masse des Körpers zu (wenn Sie die Masse verdoppeln, verdoppeln Sie die Beschleunigung) und nimmt mit dem Quadrat des Radius ab (wenn Sie den Radius verdoppeln, wird die Beschleunigung geviertelt).

So beträgt beispielsweise der Radius des Mondes etwa das 0,273-fache des Erdradius, während die Masse des Mondes etwa 0,0123 der Erdmasse beträgt. Wir würden also erwarten, dass die Beschleunigung an der Mondoberfläche

$ g_m = g_e (.0123) \ dfrac {1} {(. 273) ^ 2} \ approx \ dfrac {g_e} beträgt {6} $

und die Oberflächengravitation des Mondes beträgt ungefähr $ 1,62 \ frac {m} {s ^ 2} $

Wenn Sie also die Masse kennen und Radius von beispielsweise Mars können Sie die Oberflächengravitation des Mars wie folgt bestimmen:

$ g_M = g_e \ dfrac {M_M} {M_e} \ cdot \ dfrac {R ^ 2_e} {R ^ 2_M} $