Gravitationsschleudermaximum

Man kann eine Größenordnungsschätzung der erhalten maximale Geschwindigkeit, die durch Gravitationsschleudern ohne echte Berechnung erreicht werden kann.

Die Argumentation der „groben Physik“ lautet wie folgt:

Das Gravitationsfeld der Planeten, die für Schleudern verwendet werden, muss stark genug sein, um das schnell fahrende Raumschiff „zu ergreifen“. Da ein Planet ein Raumschiff nicht „greifen“ kann, das sich schneller als die Fluchtgeschwindigkeit des Planeten bewegt, ist es unmöglich, ein Raumschiff auf Geschwindigkeiten zu schleudern, die über die Fluchtgeschwindigkeit des Planeten hinausgehen.

Egal wie oft unsere Sonnen Systemplaneten reihen sich aneinander und unabhängig davon, wie oft Sie es schaffen, eine perfekte Gravitationsschleuder zu erzielen, sind Sie praktisch auf Geschwindigkeiten beschränkt, die ungefähr die maximale Fluchtgeschwindigkeit im Sonnensystem nicht überschreiten (dh 80 km / s oder 0,027% der Lichtgeschwindigkeit) , die Fluchtgeschwindigkeit von Jupiter).

(Hinweis: Wenn Sie mit genau definierten Trajektorien arbeiten, können Sie das obige Argument verfeinern und alle numerischen Faktoren korrigieren.)

Kommentare

• Ich müsste Ihnen nicht zustimmen. Wenn Sie einem Himmelskörper aus dem richtigen Winkel begegnen würden, könnten Sie seine Umlaufgeschwindigkeit einmal erreichen, wenn Sie eine Exzentrizität von 1,4142 hätten, was bedeutet, dass er die Fluchtgeschwindigkeit überschreitet. Oder beziehen Sie sich auf eine hyperbolische Überschussgeschwindigkeit, die gleich der Fluchtgeschwindigkeit ist (was eine Exzentrizität von 3 bedeuten würde), aber dies würde dennoch einen Gewinn von etwa 40% der Umlaufgeschwindigkeit ermöglichen. Es nimmt zwar ab, aber ich würde immer noch für signifikant halten.
• @fibonatic – Streiten Sie über Faktoren $ 1.4 $ in einer Größenordnungsschätzung?
• 1.4 ist keine Größenordnung niedriger entweder.

Je schneller Sie fahren, desto weniger Geschwindigkeit können Sie theoretisch mit einer Schwerkraftunterstützung erreichen.

Der Grund dafür ist, dass es umso schwieriger ist, die Umlaufbahn zu biegen, je schneller Sie fahren. Um dies zu beweisen, müssen wir die gepatchte Kegel -Näherung verwenden, was bedeutet, dass sich innerhalb einer Kugel Kepler-Bahnen kann verwendet werden. Die Kugel kann vereinfacht werden, um unendlich groß zu sein, da die Biegung des tatsächlich gepatchten Kegels davon kaum beeinflusst wird. Während die Exzentrizität gering ist (gleich oder größer als eins, da es sich um eine Fluchttrajektorie handeln muss), kann die Trajektorie um 360 ° gebogen werden, wodurch die Relativgeschwindigkeit des Raumfahrzeugs mit dem Himmelskörper effektiv umgekehrt wird Die Geschwindigkeit wäre doppelt so hoch wie die Relativgeschwindigkeit, was auch die theoretische maximale Verstärkung ist. Wenn die Exzentrizität zunimmt, nimmt dieser Winkel ab. Dieser Winkel kann aus der folgenden Gleichung abgeleitet werden:

$$ r = \ frac {a (1-e) ^ 2} {1 + e \ cos (\ theta)} $$

wobei $ r $ der Abstand vom Raumschiff zum Massenmittelpunkt des Himmelskörpers ist, $ a $ die Semi-Major-Achse ist, $ e $ die Exzentrizität ist und $ \ theta $ die wahre Anomalie ist.Die Semi-Major-Achse und die Exzentrizität sollten während der Trajektorie konstant bleiben, sodass der Radius nur eine Funktion der wahren Anomalie ist, die per Definition bei Periapsis gleich Null ist, und daher das maximale Ausmaß der Biegung ungefähr doppelt so groß ist wie die wahre Anomalie bei $ r = \ infty $, was bedeutet

$$ \ theta _ {\ infty} = \ lim_ {r \ to \ infty} \ cos ^ {- 1} \ left (\ frac {a (1) -e) ^ 2-r} {er} \ right) = \ cos ^ {- 1} (- e ^ {- 1}) $$

Wenn die Exzentrizität wirklich hoch wird, wird dieser Winkel 180 °, was bedeutet, dass die Flugbahn im Grunde genommen eine gerade Linie ist.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Exzentrizität zu ändern. In diesem Fall wären die relevanten Variablen:

• Die hyperbolische Überschussgeschwindigkeit , $ v_ \ infty $, die gleich ist zu der Relativgeschwindigkeit, mit der das Raumschiff auf den Himmelskörper „trifft“, meine ich damit, dass die Kugel der Himmelskörper im Vergleich zur Skala der Umlaufbahnen der Himmelskörper um die Sonne sehr klein ist, also kann die Relativgeschwindigkeit sein angenähert mit der Differenz der Umlaufgeschwindigkeit relativ zur Sonne, angenähert mit einer Kepler-Umlaufbahn bei einer Begegnung zwischen den beiden, wenn eine Flugbahn verwendet wird, bei der die Wechselwirkung zwischen ihnen ignoriert wird.
• Die Höhe des Periapsis , $ r_p $, die im Wesentlichen durch den Radius des Himmelskörpers (Oberfläche oder äußere Atmosphäre) begrenzt ist.
• Die Gravitationsparameter des Himmelskörpers, $ \ mu $.

$$ e = \ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} + 1 $$

Der Gravitationsparameter ist nur eine Selbstverständlichkeit für as Spezifischer Himmelskörper, da eine geringere Exzentrizität wünschenswert ist, sollte die Periapsis auf ihre Untergrenze, den Radius des Himmelskörpers, eingestellt werden. Auf diese Weise ist die Exzentrizität nur eine Funktion der hyperbolischen Überschussgeschwindigkeit und damit der Relativgeschwindigkeit des Raumfahrzeugs mit dem Himmelskörper.

Mit etwas mehr Mathematik kann gezeigt werden, wie sich die Geschwindigkeit ändern würde so eine enge Schwerkraft unterstützen. Dazu verwende ich ein Koordinatensystem mit einem Einheitsvektor parallel zur Richtung der relativen Begegnungsgeschwindigkeit $ \ vec {e} _ {\ parallel} $ und einem senkrechten Einheitsvektor $ \ vec {e} _ {\ perp } $:

$$ \ Delta \ vec {v} = -v_ \ infty \ left (\ left (\ cos {\ left (2 \ theta_ \ infty \ right)} + 1 \ right) \ vec {e} _ {\ parallel} + \ sin {\ left (2 \ theta_ \ infty \ right)} \ vec {e} _ {\ perp} \ right) = \ frac {2 {\ | \ vec { v} _ \ infty \ |}} {\ left (\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} + 1 \ right) ^ 2} \ left (\ sqrt {\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2 } {\ mu} \ left (\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} +2 \ right)} \ vec {e} _ {\ perp} – \ vec {e} _ {\ parallel} \ rechts) $$

$$ {\ | \ Delta \ vec {v} \ |} = \ frac {2 \ mu v_ \ infty} {r_p v_ \ infty ^ 2 + \ mu} $$

Wenn Sie diese Werte für die Erde zeichnen, ist $ \ mu = 3.986004 \ mal 10 ^ {14} \ frac {m ^ 3} {s ^ 2} $ und $ r_p = 6.381 \ mal 10 ^ { 6} m $ (Ich habe den Äquatorradius plus die Höhe verwendet, in der der atmosphärische Effekt vernachlässigt werden kann, 300 km). Sie würden die folgenden Ergebnisse erhalten:

Wenn Sie abnehmen Wenn die Geschwindigkeit so hoch wie möglich ist, möchten Sie, dass diese Geschwindigkeitsänderung in Richtung Ihrer Geschwindigkeit um die Sonne erfolgt. Wenn Sie genug Zeit haben und die Umlaufbahn so exzentrisch ist, dass sie mehrere Umlaufbahnen von Himmelskörpern kreuzt, gibt es viele Möglichkeiten, aber sobald Sie eine Fluchtbahn von der Sonne haben, passieren Sie im Grunde genommen höchstens eine weitere Umlaufbahn der Sonne Zeit.

Wenn Sie nur eine möglichst hohe Geschwindigkeit erreichen möchten, möchten Sie möglicherweise in einer stark exzentrischen Umlaufbahn näher an die Sonne heranrücken, da deren „Oberfläche“ Fluchtgeschwindigkeit beträgt $ 617.7 \ frac {km} {s} $.

Kommentare

• Hallo Fibonatic, danke für die Antwort . Ich habe die Frage mit zusätzlichen Daten aktualisiert, da ich verstehe, dass Sie für die Berechnung nur den Radius des Planeten, das Gewicht und die Anfangsgeschwindigkeit benötigen. Wenn Sie weitere Daten benötigen, lassen Sie mich wissen, dass ich sie für Sie besorgen werde.
• Also Die maximale Gravitationsschleuder, die wir bekommen könnten, wäre 0,002 Lichtgeschwindigkeit google.co.uk/… , die uns nehmen würde 2000 Jahre bis Alpha Centauri google.co.uk/… Vielen Dank für die großartige Antwort.
• @MatasVaitkevicius Nein, da Sie bei 0,002 c in der Nähe der Sonnenoberfläche eine Geschwindigkeit von Null haben würden, die unendlich weit von der Sonne entfernt ist, oder wenn Sie die Umlaufbahn von Neptun passieren, wären Sie auf 7,7 km / s verlangsamt worden.

Sie alle denken zu viel darüber nach. Beim Slingshot-Effekt dreht sich alles um den Referenzrahmen. In Bezug auf den Körper, dem Sie sich nähern, muss die Zunahme der Eintrittsgeschwindigkeit gleich der Abnahme der Austrittsgeschwindigkeit sein, oder Sie verstoßen gegen einfache Gesetze der Physik (d. H. Gravitation). Aus der Perspektive des Sonnensystems haben Sie einen Nettogeschwindigkeitsgewinn, wenn Sie sich einem Planeten aus der richtigen Richtung nähern, andernfalls sinkt die Nettogeschwindigkeit nach dem Verlassen.Der theoretische Anstieg der maximalen Geschwindigkeit beim Austritt ist daher eine Funktion der Geschwindigkeit des Wirtskörpers (Schleuder) im Referenzrahmen und des Annäherungsvektors.