Im Heisenberg-Bild (unter Verwendung natürlicher Dimensionen): $$ O_H = e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}. \ tag {1} $$ Wenn der Hamilton-Operator zeitunabhängig ist, können wir eine partielle Ableitung beider Seiten in Bezug auf die Zeit nehmen: $$ \ partielle_t {O_H} = iHe ^ {iHt} O_se ^ {- iHt} + e ^ {iHt} \ teilweise_tO_se ^ {- iHt} -e ^ {iHt} O_siHe ^ {- iHt}. \ tag {2} $$ Daher ist $$ \ partielle_t {O_H} = i [H, O_H] + (\ partielle_tO_s) _H \ ,, \ tag {3} $$, aber dies entspricht nicht der Liste vieler Lehrbücher die Heisenberg-Bewegungsgleichung. Stattdessen geben sie an, dass $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ teilweise_tO_s) _H. \ tag {4} $$ Warum ist dies im Allgemeinen wahr und nicht die vorherige Aussage? Bin ich nur pedantisch mit der Verwendung von Teil- und Gesamtableitungen?
Kommentare
- Warum haben Sie Teilableitungen angewendet? Im Heisenberg-Formalismus sind die staatlichen Kets zeitlich festgelegt und die Betreiber variieren zeitlich. Sie können also die Gesamtzeitableitung des Operators auf der LHS verwenden.
- Entschuldigung, ich kann ‚ Ihre Logik dort nicht verstehen. Hier darf $ O_s $ mit der Zeit variieren, ebenso wie $ O_H $, aber es ist sehr klar, dass es auf der LHS eine Gesamt Zeit Ableitung gibt von $ O_H $, und auf der rechten Seite erscheint eine partielle Zeit Ableitung . Warum sind ‚ nicht beide Teilableitungen zeitlich?
- @ I.E.P. In Gl. (2), Warum ist auf der linken Seite nicht ‚ es $ \ frac {d \, O_H} {dt} $?
- @IEP, Auf der linken Seite verwenden Sie $ \ frac {d \, O_H} {dt} $, und die Gesamtableitung kann als Summe der Teilableitungen ausgedrückt werden.
- @IEP Ich denke hier, was Ihnen fehlt, ist der mathematische Unterschied zwischen Gesamtableitung und Teilableitung. Links $ O_H $ als Funktion von $ t $, daher die Gesamtableitung, rechts $ O_H $ als zusammengesetzte Funktion über die Beziehung (1), daher die partielle Ableitung für jede Komponentenfunktion.
Antwort
Mit einigen Definitionen, um Zeitabhängigkeiten explizit zu machen, kann Ihre Gleichung (4) sinnvoll sein. Nehmen wir Folgendes:
Sei $ O_s $ ein Operator in Abhängigkeit von der Zeit und anderen Parametern $ O_s: \ mathbb {R} \ times S \ rightarrow \ mathrm {Op} $, wobei $ S. $ ist der Raum der anderen Parameter und $ \ mathrm {Op} $ ist der Raum der Operatoren im Hilbert-Raum. Sei $ \ phi: \ mathbb {R} \ times \ mathrm {Op} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ bezeichnen die zeitliche Entwicklung der Operatoren im Heisenberg-Bild, gegeben durch $ \ phi_t (O) = e ^ {iHt} Oe ^ {- iHt} $.
Beachten Sie, dass $ (\ partielle_t \ phi) _t (O) = i [H, \ phi_t (O)] $ und $ \ partielle_O \ phi = \ phi $ (weil $ \ phi $ in $ O $ linear ist). Geben Sie nun einen Parameter $ p \ in S $ an Wir können die Funktion der Zeit definieren: $ O_H: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ mit $ O_H (t) = \ phi_t (O_s (t, p)) $. Unsere Funktion $ O_H $ ist a Ein-Parameter-Eins, daher ist es nur sinnvoll, die Gesamtableitung zu verwenden: \ begin {align} \ frac {dO_H} {dt} (t) = & (\ teilweise_t \ phi ) _t (O_s (t, p)) + (\ Partial_O \ phi) _t \ left [(\ Partial_tO_s) (t, p) \ right] \\ = & i [ H, \ phi_t (O_s (t, p))] + \ phi_t \ left [(\ partielle_tO_s) (t, p ) \ right] \\ = & i [H, O_H (t)] + e ^ {iHt} (\ teilweise_tO_s) (t, p) e ^ {- iHt}, \ end {align}
wo ich im ersten Schritt die Kettenregel und in den anderen die bereits vorhandenen Gleichungen angewendet habe.
Antwort
Nein, Sie sind nicht „nur“ pedantisch mit Ihrem Missbrauch partieller Ableitungen: Ihre Gleichungen (2) und (3) sind völlig falsch. Sie haben die Definitionen einfach nicht richtig angewendet, wie @WeinEld hervorgehoben hat. (Sie hätten sich vielleicht Kummer erspart, wenn Sie Ihre Frage für ein einfaches System wie das SHO illustriert hätten.)
$$ O_H \ equiv e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}, $$ also für $$ O_S = f (x, p; t) \ qquad \ Longrightarrow \ qquad O_H = f (x (t), p (t); t), $$ wobei $ x (t) = e ^ {iHt } xe ^ {- iHt} $ und ebenfalls für p .
Die Zeitableitung von $ O_H $ besteht aus der partiellen Ableitung wrt t nach dem Semikolon plus die konvektive Ableitung aufgrund des Flusses von x und p im Heisenberg-Bild, $$ \ frac {\ partielles O_H} {\ partielles x (t)} \ Punkt {x} + \ frac {\ partielles O_H} {\ partielles p (t)} \ Punkt {p} = i [H, O_H] = e ^ {iHt} (i [H, O_S]) e ^ {- iHt}. $$ (Beweisen Sie dies! Wenn Sie dies nicht getan haben, ist die Diskussion nur Dampf.)
Die partielle Ableitung lautet $$ \ frac {\ partielle O_H} {\ partielle t} = e ^ {iHt} \ frac {\ partielles O_S} {\ partielles t} e ^ {- iHt} = \ left (\ frac {\ partielles O_S} {\ partielles t} \ rechts) _H. $$ (Einige drücken dies als $ \ frac {\ partielles O_H} {\ partielles t} $ aus und vertrauen darauf, dass der Leser die offensichtliche Differenzierung nur des Arguments nach dem Semikolon richtig versteht, aber genau diese Frage kann sie zu zweimal überlegen . Nun, um sicher zu sein, da $ O_S $ eine verschwindende konvektive Ableitung hat, ist $ dO_S / dt = \ partielle O_S / \ partielle t $, wie in einem Kommentar erwähnt, Das ist also kein Problem.)
In jedem Fall ergibt das Zusammenfügen der beiden Teile das herkömmliche $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ partielle_tO_s) _H. $$
Überwachen Sie das offensichtliche Verhalten eines einfachen Observablen wie $ O_S = tx $ im SHO, $ H = (p ^ 2 + x ^ 2) / 2 $, dem gefeierten Starren klassisch ähnliche Rotation im Phasenraum, $ x (t) = x \ cos t + p \ sin t $, $ p (t) = p \ cos t – x \ sin t $; also $ O_H = tx (t) $. Daher ist $ dO_H / dt = tp (t) + x (t) $: Schätzen Sie nun die Effizienz und Unterschiede der jeweiligen Bilder. (Wie $$ dO_H / dt = \ exp (itH) (it [p ^ 2/2, x] + x) \ exp (-itH) = e ^ {it ~ [(x ^ 2 + p ^ 2) / 2,} ~ (tp + x) ~, $$ mit den Physikern „übliche Vermeidung der ad -Kartennotation des Mathematikers“.)
Vielleicht finden Sie Ihre Orientierung an Denken Sie an das S-Bild als Eulerschen Rahmen und an das H-Bild als Lagrangeschen Rahmen.