Ich habe Probleme mit dem Ho-Lee-Modell für kurze Raten und unterscheide zwischen der Ermittlung der Werte für den freien Parameter λ und der Verwendung von Modell zur Vorhersage zukünftiger Raten.
Das Ho-Lee-Modell für jeden Schritt in einem Binomialbaum: $$ \ lambda_tdt + \ sigma \ sqrt dt $$
Das habe ich gelesen Um den freien Parameter bei jedem Schritt in einem rekombinierenden Binomialbaum festzulegen, setzen Sie die Rate im Status 0 auf die aktuelle Spotrate (dh: 1-Monats-Spotrate) und ermitteln einen Wert für Lambda, der beim Einstecken in das Modell zu der aktueller Kassakurs für den nächsten Zeitschritt (z. B. beginnend mit einem 1-Monats-Kassakurs bei Status 0 und unter Verwendung eines 1-Monats-Zeitschritts ergibt der korrekte Wert für Lambda, wenn er an das Modell angeschlossen wird, den aktuellen 2-Monats-Kassakurs usw.) / p>
Das verwirrt mich. Sobald ich den Wert von Lambda für jeden Schritt in meinem Baum bestimmt habe, Welche Eingaben ändere ich, um das Modell mit meinem Bin zu verwenden? Omial Tree zur Vorhersage von Futures-Raten. Dh: Ein-Monats-Rate in einem Monat, in zwei Monaten usw.
Falls meine Beschreibung nicht klar ist, finden Sie hier eine Ausnahme von Bruce Tuckmans Buch über die Betreff.
… finde λ1 so, dass das Modell einen zweimonatigen Kassakurs erzeugt, der dem auf dem Markt entspricht. Finden Sie dann λ2 so, dass das Modell einen dreimonatigen Kassakurs erzeugt, der dem auf dem Markt entspricht. Fahren Sie auf diese Weise fort, bis der Baum endet.
Antwort
Sie wissen dass das Ho-Lee-Modell durch die stochastischen Differentialgleichungen dargestellt wird \ begin {align} dr_t = \ lambda_t \, dt + \ sigma \, dW_t \ end {align} Um unseren Binomialbaum zu implementieren, verwenden wir die Euler-Diskretisierung. \ begin {align} r_t = r_ {t- \ Delta t} + \ lambda_ {t- \ Delta t} \, \ Delta t + \ sigma \, \ sqrt {\ Delta t} \, Z \ end {align} where $ Z $ ist eine normale Standard-Zufallsvariable. Lassen Sie $ t_0 = 0 < t_1 < … < t $ und erweitern Sie die Gleichung in diskreter Zeit \ begin {align} r_t = r_0 + \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ lambda_ {t_i} + \ sigma \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ \, Z \ end {align} Diese Beziehung zeigt, dass die kurze Rate die Summe einer Menge nichtstochastischer Driftterme und einer Menge zufälliger Terme ist Der No-Arbitrage-Nullkupon-Anleihepreis $ P (t, t + \ Delta t) $ wird daher als
\ begin {align} P (0, t_n) = E ^ Q \ left [angegeben. exp \ left (- \ Delta t \, \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} r (t_i) \ right) \ right] \ end {align} Zum Beispiel die Berechnung des Anleihepreises zum Zeitpunkt $ n = 2 $, gibt uns: \ begin {align} P (0, t_2) = E ^ Q [\ Delta t \, exp (-r_ {t_0} -r_ {t_1})] = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} E ^ Q [e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_1}}] \ end {align} mit anderen Worten \ begin {align} P (0, t_2) = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} \, exp \ left (- \ De lta t \, E ^ Q [r_ {t_1}] + \ frac {1} {2} \ Delta t \, Var ^ Q [r_ {t_1}] \ right) \ end {align} In diesem Fall $ r_t $ hat eine Normalverteilung, also \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \ lambda_0 \, + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 = -2 \ Delta t \, r_ {t_0} – \ lambda_0 \, \ Delta t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 \ \ end {align} Aber \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = \ Delta t \, [- f (0,0) -f (0, t_1)] \ end {align} Es kann wie folgt umgeschrieben werden: \ begin {align} -r_ {t_0} -f (0, t_1) = – 2r_ {t_0} – \ lambda_0 \ t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} dann \ begin {align} \ lambda_ {t_0} = f (0, t_1) -r_ {t_0} + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} Diese Beziehung gibt die notwendigen rekursiven Beziehungen, um das Ho-Lee-No-Arbitrage-Modell für kurze Raten zu entwickeln. Wir nehmen eine Reihe von Anleihepreisen und die Struktur der Volatilitäten als Input für die Short-Zinssätze. Daher erhalten wir die Evolutionsgleichung zur Darstellung des Binomialbaums des Modells.
Kommentare
- Vielen Dank für Ihre Antwort, obwohl sie ' liegt über meinem Verständnisniveau. Einfach ausgedrückt, ich verstehe, dass der Sinn des Modells darin besteht, zukünftige Raten zu modellieren. Ich ' habe gelesen, dass wir die freien Parameter bei jedem Schritt im Baum so einstellen, dass das Modell aktuelle Spotraten ausspuckt. Wenn wir auf diese Weise wissen, dass das Modell kalibriert ist, welche Eingaben würde ich ändern, damit ich damit zukünftige Raten modellieren kann?