Für eine „glockenförmige“ Normalverteilungskurve hätte man gedacht, dass die Höhe einen idealen Wert haben sollte. Die Kenntnis dieses Wertes kann ein schneller Indikator sein, um zu überprüfen, ob die Daten normal verteilt sind.
Ich konnte jedoch seinen formalen Wert nicht finden. An den meisten Stellen wird die Form angezeigt, nicht jedoch die Messungen der y-Achse. http://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/normal.htm
In einigen Diagrammen, in denen dies erwähnt wird, ist es 0,4. http://en.wikipedia.org/wiki/File:Normal_Distribution_PDF.svg . Auf der Hauptseite ( http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution ) wird der Wert 0,4 jedoch nirgends erwähnt.
Ist dies der richtige Wert und auf welcher mathematischen Grundlage? Vielen Dank für Ihren Einblick.
Bearbeiten:
Die drei Kurven in der Antwort von @Glen_b und auf der Wiki-Seite (mit Mittelwert = 0) haben den gleichen Mittelwert, aber unterschiedliche SDs. Alle Tests würden zeigen, dass nein signifikanter Unterschied zwischen ihnen. Aber sie stammen eindeutig aus verschiedenen Populationen. Welchen Test können wir dann anwenden, um den Unterschied in den Standardabweichungen zweier Verteilungen zu bestimmen?
Ich habe im Netz nachgesehen und festgestellt, dass es sich um den F-Test handelt
Aber gibt es einen bestimmten Namen für eine Verteilungskurve, die einer mit einem Mittelwert von 0 und einer Standardabweichung von 1 (und einem Peak bei 0,4) ähnlich ist?
Beantwortet von Aleksandr Blekh in Kommentaren: „Standardnormalverteilung oder die mit N (0,1) bezeichnete Einheitsnormalverteilung“.
Es wird jedoch nicht betont, dass, wenn die Mittelwerte nicht unterschiedlich sind, der F-Test oder der KS Ein Test (wie von Glen_b in den Kommentaren vorgeschlagen) sollte durchgeführt werden, um festzustellen, ob die Standardabweichungen unterschiedlich sind und unterschiedliche Populationen anzeigen.
Kommentare
- Es ' ist nicht klar, welche Funktion " glockenförmig " in Ihrer Frage dient. Eine normale Dichte hat eine Glockenform (aber man kann eine deutlich glockenförmige Dichte haben, die ' nicht normal ist). Wenn Sie es entfernen und die Frage nur " Normalverteilung " lautet, würde dies die Absicht der Frage ändern?
- Ich meinte die Höhe der Dichtekurve normalverteilter Daten.
- Ihre Behauptung " Alle Tests würden keinen signifikanten Unterschied zwischen ihnen zeigen " ist falsch. Bei vernünftigen Stichprobengrößen würde ein F-Varianztest (Testen, ob das Varianzverhältnis von 1 abweicht) den Unterschied leicht finden, ebenso wie ein einfacher Kolmogorov-Smirnov-Test.
- Ich dachte an alle Vergleichstests bedeutet, wie es allgemein gemacht wird. Vielen Dank für Ihre Erklärungen.
- Re: Ihre letzte Frage. Definition aus entsprechender Wikipedia-Artikel : " Wenn $ \ mu = 0 $ und $ \ sigma = 1 $, wird die Die Verteilung wird als Standardnormalverteilung oder Einheitsnormalverteilung bezeichnet und mit $ N (0,1) $ " (Hervorhebung) bezeichnet meine, die Standardnormalverteilung ist diejenige, die bei ~ 0,4) ihren Höhepunkt erreicht.
Antwort
Die Höhe von Der Modus in einer normalen Dichte ist $ \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} \ approx \ frac {.3989} {\ sigma} $ (oder ungefähr 0,4 / $ \ sigma $). Sie können dies sehen, indem Sie $ x $ in der Formel für eine normale Dichte durch den Modus (der auch der Mittelwert $ \ mu $ ist) ersetzen.
Es gibt also keine einzige „ideale Höhe“ – – es hängt von der Standardabweichung ab
bearbeiten: siehe hier:
In der Tat kann das Gleiche sein Aus dem Wikipedia-Diagramm, mit dem Sie verlinkt haben, geht hervor, dass es vier verschiedene Normaldichten zeigt und nur eine von ihnen eine Höhe nahe 0,4 aufweist.
Eine Normalverteilung mit dem Mittelwert 0 und der Standardabweichung 1 wird als „Standardnormalverteilung“
Kommentare
- Spitzenwerte bedeuten also keine Normalität oder auf andere Weise? Entschuldigung für eine sehr grundlegende Frage.
- Es hängt davon ab, wie Sie ' ' Peakedness '. Wenn Sie " Höhe des Peaks ohne Berücksichtigung der relativen Streuung " meinen, dann nein, wie Sie kann sehen aus dem Diagramm in Ihrer Frage oder dem in meiner Antwort. Wenn Sie die Streuung anpassen (dh standardisieren), haben alle normalen Dichten, die auf $ \ sigma = 1 $ standardisiert sind, im Modus dieselbe Höhe, aber eine unendliche Anzahl unimodaler (aber nicht normaler) Verteilungen kann genau dieselbe haben Höhe im Modus (es ist ' trivial, eine zu konstruieren, beispielsweise über endliche Mischungsverteilungen).
- Bitte beachten Sie die Bearbeitung in meiner Frage oben.
- @Glen_b Woher hast du die Modushöhenformel? Ich ' habe Probleme, eine Ableitung zu finden.
- Egal, ich habe es herausgefunden.Sie setzen einfach $ x = \ mu $ und finden den Wert der PDF. Wenn Sie wirklich wollen, können Sie auch durch Differenzierung bestätigen, dass $ x = \ mu $ ein Maximum ist, aber in diesem Fall scheint das übertrieben.