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Wenn die Geschwindigkeit eine Funktion der Zeit ist, ist die Gesamtentfernung nur das Integral in Bezug auf die Zeit. Beispielsweise beträgt die zurückgelegte Strecke $ D $ für ein Objekt, das sich mit einer Geschwindigkeit $ v (t) $ über ein Zeitintervall $ t_0 $ bis $ t_f $ bewegt,
$ D = \ int_ {t_0} ^ {t_f} v (t) dt $
Dies ist eine Elementarrechnung. Wenn Sie dies noch nicht wussten, dann kennen Sie mit ziemlicher Sicherheit kein Kalkül und dies ist nicht der richtige Ort, um Ihnen einen Kurs in Kalkül beizubringen. So oder so – Sie benötigen einfach Kalkül , um dieses Problem zu lösen.
Kommentare
- Ja … ich habe nicht ' Diese Antwort wird aus irgendeinem Grund nicht angezeigt. +1. Ein guter Punkt, um Kalkül bereits zu kennen.
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Nun, Sie könnten immer ein Maßband ablegen zwischen der Endposition und der Anfangsposition und sehen, was es liest 😉
Aber im Ernst: Ich vermute, dass alles, was Sie wissen, die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit ist, richtig? In diesem Fall Sie müssen ein Integral tun. Die Geschwindigkeit ist definiert als die zeitliche Ableitung der Position,
$$ \ mathbf {v} (t) = \ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {x} (t)} {\ mathrm {d } t} $$
und wenn Sie diese Formel invertieren (technisch: Lösen Sie die Differentialgleichung), um die Positionsänderung zu lösen, erhalten Sie
$$ \ mathbf {x} (t) = \ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathbf {v} (t) \ mathrm {d} t $$
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Sie verwenden Integralrechnung. Die zurückgelegte Strecke ist das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit.
Wenn die Geschwindigkeit konstant wäre, wäre die zurückgelegte Strecke die Geschwindigkeit multipliziert mit der Zeit.
Wenn sich die Geschwindigkeit ändert, Wir wissen nicht, welche Geschwindigkeit wir verwenden sollen. Die Lösung besteht darin, die Zeit in kleine Stücke aufzuteilen – etwa eine Minute. Wie schnell waren Sie in der ersten Minute unterwegs? Multiplizieren Sie diese Geschwindigkeit mit einer Minute, um die zurückgelegte Strecke in der ersten Minute zu erhalten Nur Minute. Wie schnell waren Sie in der zweiten Minute unterwegs? Multiplizieren Sie diese mit einer Minute, um die in der zweiten Minute zurückgelegte Strecke zu erhalten. Addieren Sie diese beiden, um die in den ersten zwei Minuten zurückgelegte Gesamtstrecke zu erhalten, und wiederholen Sie dies für die gesamte Reise Jetzt haben Sie eine Schätzung für die Gesamtentfernung.
Wenn sich die Geschwindigkeit innerhalb einer Minute erheblich ändert, schlägt diese Methode erneut fehl. Kein Problem, teilen Sie die Zeit einfach in Intervalle von einer Sekunde auf. Ermitteln Sie jeweils die Geschwindigkeit Zweitens, multiplizieren Sie mit einer Sekunde und addieren Sie sie alle. Wenn sich die Geschwindigkeit in einer Sekunde erheblich ändert, Verwenden Sie Intervalle von 0,01 Sekunden usw.
Wenn Sie immer kleinere Zeitintervalle verwenden und die Gesamtentfernung berechnen, werden Sie normalerweise feststellen, dass die von Ihnen berechnete Gesamtentfernung gegen eine bestimmte Zahl konvergiert. Beispielsweise können Sie eine Entfernung von 10,45 m finden, wenn Sie in 1-Minuten-Blöcken, 10,87 m in 1-Sekunden-Stücken, 10,88 m in 0,01-s-Stücken und 10,88 m in 0,0001-s-Stücken berechnen. Dann wissen Sie, dass die tatsächlich zurückgelegte Strecke 10,88 m beträgt.
Dieser Vorgang wird als „Integral nehmen“ bezeichnet. Manchmal ist es möglich, das Integral genau zu finden, ohne die Dinge in Stücke zu zerlegen. Wenn sich beispielsweise die Geschwindigkeit mit einer konstanten Geschwindigkeit ändert, also Geschwindigkeit = Beschleunigung * Zeit für eine Zahl „Beschleunigung“, beträgt die zurückgelegte Strecke genau 1/2 * Beschleunigung * Zeit ^ 2. Weitere Informationen finden Sie in jedem Buch über Integralrechnung. Um zu lernen, wie diese Algorithmen effizient programmiert werden, suchen Sie nach Techniken zur numerischen Integration.
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Es hängt davon ab, ob Sie dies beabsichtigen Finden Sie die endgültige Verschiebung , $$ \ mathbf {D} = \ int_ {t_0} ^ {t_1} \ mathbf {v} \: dt, $$ oder buchstäblich die zurückgelegte Strecke . Stellen Sie sich den Unterschied zwischen den beiden folgendermaßen vor: Wenn Sie von New York nach London und wieder zurück reisen, berücksichtigen Sie die Länge beider Etappen der Reise oder nur den Unterschied zwischen Ihrem ursprünglichen und dem endgültigen Ziel? Mit anderen Worten, sind Sie (ungefähr) 11.000 km hin und zurück oder (ungefähr) 0 km gefahren, seit Sie dort gelandet sind, wo Sie angefangen haben? Ersteres ist die zurückgelegte Strecke, letzteres die Größe Ihrer Verschiebung.
Wenn es sich um die gewünschte Gesamtstrecke handelt, lautet die Formel $$ S = \ int_ {t_0} ^ { t_1} v \: dt, $$ wobei $ v $ die Größe Ihres Geschwindigkeitsgeschwindigkeitsvektors $ \ mathbf {v} $ ist. Beachten Sie, dass sich dies im Allgemeinen von der Größe der Verschiebung $ unterscheidet D = | \ mathbf {D} | $, es sei denn, die Bewegung erfolgt immer in eine Richtung.
Wenn Sie die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit kennen, sind Sie fertig. Aber wenn Sie die Flugbahn, aber nicht die Geschwindigkeit erhalten, wird das etwas schwieriger.Betrachten Sie den Satz von Pythagoras oder die Distanzformel: $$ \ Delta s ^ 2 = \ Delta x ^ 2 + \ Delta y ^ 2. $$ Es ist auch in drei Dimensionen für infinitesimale Verschiebungen korrekt: $$ ds ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2. $$ Deshalb: $$ \ left (\ frac {ds} {dt} \ right) ^ 2 = \ frac {dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2} {dt ^ 2} = v ^ 2. $$ Oder: $$ S = \ int_ {t_0} ^ {t_1} \ sqrt {\ left (\ frac {dx} {dt} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac { dy} {dt} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {dz} {dt} \ right) ^ 2} \: dt. $$ Sie können auch Kurvenlängen finden, die nicht zeitlich angegeben sind. aber durch einen anderen Parameter, sogar eine der Koordinaten (ersetzen Sie einfach $ t $ durch den obigen Parameter, z. B. wenn Sie eine Kurve als Funktion von $ x $ haben, ersetzen Sie jedes $ dt $ durch $ dx $ und seien Sie Beachten Sie $ dx / dx = 1 $).
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Im Prinzip müssen Sie, wie die anderen sagen, berechnen das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit, um die zurückgelegte Strecke zu bestimmen.
Eine nicht konstante Geschwindigkeit bedeutet jedoch nicht notwendigerweise, dass die Funktion, die die Geschwindigkeit beschreibt, kompliziert ist. Für i In diesem Fall können Sie möglicherweise die Durchschnittsgeschwindigkeit ermitteln, indem Sie einfach die Geschwindigkeitsfunktion analysieren.
Angenommen, die Geschwindigkeit steigt linear mit der Zeit an: konstante Beschleunigung. Dann kennen Sie die Startgeschwindigkeit (bei A ) und die Endgeschwindigkeit (bei B ) und können den Durchschnitt leicht berechnen:
$ $ v_ {avg} = \ frac {v_ {B} – v_ {A}} {t_B – t_A} $$
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Sie können auf einfache Weise die Berechnung einschließen. Ermitteln Sie zunächst den Maximalwert von s (Abstand / Verschiebung). Verwenden Sie dazu die Differenzierungsformel: ds / dt. Fügen Sie dann den Zeitwert (t) zur s-Gleichung hinzu.
EXAMPLE:Lets say t=2 then apply the vale to the s equation say : s=20t-5t^2 =20(2)-5(2)^2 =40-20=20 So the max value of s=20 then multiply with 2 and voila you got your total distance(s=40m). Ich hoffe, dies hilft.
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Die Integration der Geschwindigkeit ist in Ordnung, aber normalerweise mache ich einfachere Dinge, um die Antwort zu kennen.
Es hängt vom Kontext ab. Sie sind gereist, sagten Sie?
Ein Kilometerzähler ist das ideale Instrument. Autos, Fahrräder, Fußgänger können eines verwenden.
Ich kann ein GPS in Autos, Bykes, Fußgängern, Flugzeugen und Meeresschildkröten usw., ergänzt durch Google Maps. LKWs haben eine Aufzeichnung der augenblicklichen Geschwindigkeit für Prüfungszwecke (glaube ich). Dieser Weg ist komplizierter, da Sie ihn integrieren müssen.
Eine -Filmkamera ist manchmal nützlich, um den durchquerten Raum aufzuzeichnen und zu verfolgen. Es wird in Sportarten und Tänzern verwendet und um die Körperbewegung zu untersuchen. Bei Fußballspielen im Fernsehen geben sie uns manchmal die Distanz an, die jeder Spieler zurückgelegt hat. Sie müssen den Winkel des Spielfelds mit der Aufnahmekamera kennen, den Player identifizieren und zu den vorherigen Daten summieren. Eine Summe wird in der realen Welt häufiger verwendet als die Integration, da wir in Zeitintervallen Maßnahmen ergreifen und auf vorherige Daten zurückgreifen. Ein Integral setzt voraus, dass wir einen kontinuierlichen Datenfluss haben.
Wenn das Objekt im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit schnell ist, müssen die Daten relativistisch korrigiert dasselbe, wenn Sie so tun, als würden Sie den durchquerten Raum messen, wenn Sie eine Rolltreppe in Bezug auf den Boden der Rolltreppe selbst oder das äußere Gebäude betreten.
Wie interessant, dass unser Verstand automatisch eine komplizierte Antwort hat .
Die Antwort „Wenn Sie den durchquerten Raum kennen wollen, müssen Sie die Geschwindigkeit kennen“ vergisst das, um es zu wissen Die Geschwindigkeit ist schwieriger (muss mehr wissen: der Raum und die Zeit, die in jedem Moment verbraucht werden)