Ich weiß, dass es nach Heisenbergs Unsicherheitsprinzip nicht möglich ist, die genauen Werte von Position und Impuls eines Teilchens gleichzeitig zu kennen, aber können wir es wissen Die genauen Werte für Impuls und Geschwindigkeit eines Teilchens gleichzeitig? Ich würde denken, die Antwort wäre nein, denn selbst wenn wir uns der Position des Teilchens zu 100% sicher wären, wären wir uns des Impulses des Teilchens völlig unsicher, was uns dazu bringt auch völlig unsicher über die Geschwindigkeit des Teilchens. Hat jemand einen Einblick in dieses Thema?
Antwort
Es ist durchaus üblich, die beiden Extreme des Unsicherheitsprinzips Sinus zu diskutieren und Delta-Funktion. Eine hat eine perfekt definierte Wellenlänge, aber keine Position, die andere hat eine perfekt definierte Position, aber keine Wellenlänge.
Keine dieser Formen ist jedoch für die Positionswellenfunktion eines Teilchens schrecklich physikalisch. Eine echte sinusförmige Wellenfunktion würde sich durch den gesamten Raum erstrecken, was aus mehreren Gründen absurd ist (einschließlich des Vorhandenseins anderer Materie). Eine echte Delta-Funktion würde ebenso wahrscheinlich einen Impuls haben, der wahrscheinlich die Energieerhaltung verletzen würde. Diese beiden extremen Grenzen sind also mathematisch interessant, aber physikalisch nicht relevant.
Angesichts der Frage „Schränkt das Unsicherheitsprinzip Impuls und Geschwindigkeit gleichzeitig ein?“ lautet die Antwort Nein.
Gegeben Die Frage „Verbietet mir das Ungewissheitsprinzip, eine einzelne Variable mit unendlicher Genauigkeit zu messen?“ lautet die Antwort Nein.
Angesichts der Frage „Hat irgendetwas verbietet mir das Messen mit unendliche Präzision? „, die Antwort lautet ja .
In Ihrer Frage werden also“ genaue Werte „erwähnt, was sehr interessant und heikel ist Gegenstand. (Ist es jemals möglich, einen exakten Wert zu messen? Wie würden wir den Unterschied feststellen?) Sind Sie wirklich neugierig auf „exakte Werte“? Sind Sie neugieriger, wo das Heisenberg-Unsicherheitsprinzip gilt und wo nicht? Oder sind Sie neugierig, ob unsere Messfähigkeit neben dem Unsicherheitsprinzip noch andere Grenzen hat?
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- Ich habe nur gefragt, weil Es wurde bei einem Test gefragt und ich war neugierig, die Antwort zu erfahren, nachdem ich den Test gemacht hatte. Ich weiß, dass sich das Unsicherheitsprinzip mit Energie und Zeit befasst, und dann auch mit Position und Dynamik. Also dachte ich, wenn wir die Position hypothetisch mit exakter Sicherheit messen würden, wären wir völlig unsicher über ihre Position und somit völlig unsicher über ihre Geschwindigkeit. Ich wollte nur wissen, ob die Unsicherheit über die Position die Unsicherheit über die Geschwindigkeit gewährleistet.
- Wenn wir relativistische Effekte ignorieren, sind Geschwindigkeit und Impuls mit dem Teilchen ‚ ist die Proportionalitätskonstante. Wenn Sie also eine genau kennen, erhalten Sie die andere kostenlos.
Antwort
Wenn in Ihrer Theorie der Impulsoperator und der Geschwindigkeitsoperator proportional zueinander sind, dann ja. Den eigenen Eigenwert zu kennen bedeutet, den anderen zu kennen. Dies ist bei jeder Funktion eines „bekannten“ Operators immer der Fall.
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- I ‚ Ich bin in der Grundphysik 3 an der Georgia Tech und nehme es als Wahlfach, also bin ich ‚ nicht so weit gekommen. Ich ‚ werde das sicher untersuchen, obwohl
Antwort
Die Geschwindigkeitseigenwerte der Dirac-Gleichung sind $ \ pm c $. Dies ist bekannt, da die Gleichung gefunden wurde; siehe Diracs Buch „The Principles of Quantum Mechanics, 4. Aufl.“, Oxford University Press, Oxford 1958, Kapitel XI „Relativistische Theorie des Elektrons“, Abschnitt 69, „Die Bewegung eines freien Elektrons“, Seite 262 Früher war es eine allgemein gelehrte Tatsache der Quantenmechanik, aber ich verstehe die Abwärtsstimmen. Es ist jetzt möglich, in Physik zu promovieren, ohne das Geringste über die folgende recht elementare Berechnung zu wissen. Zum Teil, da dies nicht mehr viel gelehrt wird, ist die Ableitung kürzlich in der Literatur wieder aufgetaucht, siehe beispielsweise: Eur.Phys.J.C50: 673-678,2007 Chiral Schwingungen in Bezug auf den Zitterbewegungseffekt / hep-th / 0701091 um Gleichung (11).
Zunächst stellen wir fest, dass Geschwindigkeit die zeitliche Änderungsrate der Position ist und dass Sie die zeitliche Änderungsrate der Position mithilfe des Kommutators definieren können:
$$ \ hat {v} _x = \ dot {x} = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] $$
Wenn Ihnen das oben Gesagte magisch erscheint, lesen Sie den Wikipedia-Eintrag unter Ehrenfest-Theorem , das das Prinzip angibt und die identische Situation für die nicht-relativistische Quantenmechanik angibt: $$ \ frac {d} {dt} \ langle x \ rangle = – (i / \ hbar) \ langle [\ hat {x}, H] \ rangle = \ langle p_x \ rangle / m $$ und so $ \; m v_x = m \ dot {x} = p_x $ (für den nicht-relativistischen Fall) Somit ist es für das nicht-relativistische Elektronenmodell möglich, Geschwindigkeit und Impuls gleichzeitig zu messen, ihre Proportionalitätskonstante ist die Masse. Bei der Relativitätstheorie tritt die Proportionalität jedoch nicht auf Die Situation ist also anders.
Damit ein Zustand ein Eigenzustand der Geschwindigkeit ist, ist Folgendes erforderlich:
$$ \ hat {v} _x \; \ psi (x) = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] \; \ psi ( x) = \ lambda \ psi (x) $$
Dirac definierte den Hamiltonian mit freien Teilchen als $ H = c \ vec {\ alpha} \ cdot \ vec {p} + \ beta mc ^ 2 $. In der modernen Notation sind $ \ beta = \ gamma ^ 0 $ und $ \ alpha ^ k = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ k $, während $ p $ der übliche Impulsoperator ist.
Beachten Sie, dass die Das einzige, was nicht mit $ \ hat {x} $ pendelt, ist die x-Komponente des Impulsoperators, die $ [\ hat {x}, \ hat {p} _x] = i \ hbar $ ergibt oben reduziert sich auf:
$$ – (i / \ hbar) [\ hat {x}, c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 [\ hat {x}, p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) (i \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$
Unter Verwendung der von der Wikipedia gewählten Gammamatrixdarstellung haben wir: $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = c \ left (\ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0
-1 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ – 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) = c \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) $$ Die Eigenwerte sind erhalten durch Lösen des charakteristischen Polynoms . Berechnen Sie also die Matrixdeterminante und setzen Sie sie auf Null: $$ \ left [\ begin {array} {cccc} – \ lambda & 0 & 0 & c \\ 0 & – \ lambda & c & 0 \\ 0 & c & – \ lambda & 0 \\ c & 0 & 0 & – \ lambda \ end {array} \ right] = \ lambda ^ 4-2 \ lambda ^ 2c ^ 2 + c ^ 4 = 0 $$ Ich überlasse es dem Leser als Übung zu zeigen, dass es zwei echte Wurzeln gibt, $ \ pm c $ jeweils mit der Ordnung zwei.
Die vier Lösungen für das Geschwindigkeitseigenwertproblem für die Dirac-Gleichung entsprechen dem rechts- und linkshändigen Elektron und Positron. Das heißt, die Geschwindigkeitseigenzustände der Dirac-Gleichung sind genau die links- und rechtshändigen Zustände, die verwendet werden, um Fermionen im Standardmodell darzustellen.
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- Es gibt zwei separate Probleme, die zu Abstimmungen führen können (ich habe ‚ noch keine Abstimmungen vorgenommen, bitte beheben). Erstens befindet sich der Dirac-Hamilton-Operator in einem diskreditierten Einzelteilchenbild der Dirac-Gleichung, wobei x ein Operator ist, der die Position des Elektrons beschreibt. Im richtigen feldtheoretischen Bild haben nahe Fock-Zustände einen Impuls, der p ist, und eine Geschwindigkeit, die p / E in einem Wellenpaket ist, und die beiden Größen können simultane Werte haben (Art, weil Teilchen nicht lokal sind). Das andere Problem ist, dass die Gleichung, die Sie für die Geschwindigkeitseigenwerte angeben, vier Lösungen hat (c, -c, ic, -ic).
- Was das Problem mit dem Feld betrifft Theorie versus QM geht, die Geschwindigkeitseigenzustände des Elektrons hängen mit der Zitterbewegung (zbw) zusammen, die in letzter Zeit aufgrund der Festkörperphysikforschung wieder aufgetaucht ist.So bin ich ‚ nicht sicher, ob es ‚ diskreditiert ist, siehe zum Beispiel die Diskussion von zbw und Geschwindigkeitseigenzuständen in Eur. Phys. J. B 83, 301–317 (2011): arxiv.org/abs/1104.5632
- Okay, ich ‚ m Festlegen der Eigenwertberechnung; Ich habe die Determinante gesprengt.
- Ich glaube nicht, dass ‚ ‚ völlig diskreditiert ist, es braucht nur eine Diskussion — Das zbw ist eine Eigenschaft von Positronenzuständen, die sich mit Elektronenzuständen im Einzelteilchenbild vermischen, wobei das Elektron in der Feynman-Beschreibung zeitlich hin und her bewegt wird. Es
ist physikalisch, aber nur in der Feynman-Form der Partikeldynamik, nicht so sehr in der feldtheoretischen Form. Ich bin sicher, dass dies der Grund ist, warum viele Leute automatisch Einzelpartikel-Diskussionen über Dirac-Gl. Ich glaube nicht, dass ‚ es Unsinn ist, es enthält viel Physik, aber es erfordert eine sorgfältige Diskussion.
Antwort
Das Argument, dass Heisenbergs Unsicherheitsprinzip verbietet, dass wir die genauen Werte von Impuls und Geschwindigkeit eines Teilchens gleichzeitig kennen können, wird bereits im alten Lehrbuch von Feynman on Quantum diskreditiert Elektrodynamik.
Zwei Observablen können gleichzeitig bestimmt werden, wenn die Operatoren pendeln. Für Geschwindigkeit und Impuls pendeln die Operatoren $ [\ hat {p}, \ hat {v}] = 0 $; sie tun sogar in die Dirac-Wellenfunktionstheorie mit ihren Zitterbewegungseffekten.