Nehmen wir an, dass das Konfidenzintervall $ 100 (1- \ alpha) \% $ liegt des Populationsmittelwerts $ \ mu $ ist bekannt als $ (a, b) $ und der Anzahl der Stichproben ist $ n $ . Ist es möglich, aus diesen Informationen Punktschätzungen des Populationsmittelwerts und der Populationsvarianz abzuleiten? In diesem Fall wird davon ausgegangen, dass die Population der Normalverteilung folgt.

Eine Idee ist, dass das Konfidenzintervall des Populationsmittelwerts berechnet werden kann, wenn wir den Stichprobenmittelwert $ \ overline {x} $ und die Populationsvarianz $ \ sigma ^ {2} $ : $$ \ overline {x} -z _ {\ alpha / 2} \ frac { \ sigma} {\ sqrt {n}} \ leq \ mu \ leq \ overline {x} + z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {\ sqrt {n}} $$ , wir kann $ a = \ overline {x} -z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {n} $ , $ b = \ overline {x} + z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {n} $ und löse nach $ \ overline {x} $ und $ \ sigma $ . In diesem Fall kann $ \ overline {x} $ sicherlich als Punktschätzung des Populationsmittelwerts behandelt werden. Was ist jedoch mit $ \ sigma ^ {2} $ ? Ist dies eine „wahre“ Populationsvarianz oder ist dies nur eine „Punktschätzung“ der Populationsvarianz? Ich bin wirklich verwirrt darüber, wie $ \ sigma ^ {2} $ in diesem Fall interpretiert werden sollte.

Antwort

Sie können die $ \ bar {x} $ und $ \ ableiten Sigma ^ 2 $ , das dieses Konfidenzintervall erzeugt hat, ja. Die Kenntnis der Stichprobengröße und des $ \ alpha $ -Niveaus ist jedoch von entscheidender Bedeutung, und Sie können das Problem ohne diese Informationen nicht lösen.

Das z- Das basierte Konfidenzintervall impliziert eine bekannte Varianz, die bei der Berechnung des Konfidenzintervalls verwendet wird. Wenn Sie also die Breite zum Lösen nach Varianz verwenden, lösen Sie nach der wahren Varianz $ \ sigma ^ 2 $ , keine Schätzung $ s ^ 2 $ . Wenn das Konfidenzintervall t-basiert ist, würden Sie nach $ s ^ 2 $ auflösen.

Die Breite einer z-basierten Konfidenz Das Intervall hängt nicht von den Daten ab, da Sie die Populationsvarianz kennen kennen. Wenn Sie einen Parameter kennen, müssen Sie ihn nicht schätzen.

Kommentare

  • Wenn ich das gut verstanden habe, hängt die Antwort davon ab, ob Das Konfidenzintervall wurde durch eine z-basierte Methode oder eine t-basierte Methode abgeleitet. Vielen Dank für Ihre Antwort.
  • Aus diesem Grund verwenden wir z-basierte Intervalle und t-basierte Konfidenzintervalle. Wenn wir kennen die Populationsvarianz, wir ' kümmern sich nicht um t-basierte Konfidenzintervalle, und die Breite des z-basierten Intervalls wird durch $ \ sigma ^ 2 / bestimmt 2 $. Wenn wir ' die Populationsvarianz nicht kennen (so ziemlich immer), schätzen wir die Populationsvarianz um $ s ^ 2 $ und verwenden t-basierte Konfidenzintervalle, um sie zu berücksichtigen die Unsicherheit im Zusammenhang mit der Schätzung (dh die Berücksichtigung der Tatsache, dass unsere Schätzung eine schlechte Schätzung sein könnte).

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