六角形のクローズドパッキング（hcp）ユニットセルには、 ABAB タイプのパッキングがあります。パッキング率を計算するには、ユニットセルの体積が必要です。
hcp格子の体積=（ベース面積）$ \ cdot $（ユニットセルの高さ）
各六角形には辺= $ 2があります。 \ cdot r $
基本面積= $ 6 $（六角形を構成する小さな正三角形の面積）
$$ = 6 \ cdot \ frac {\ sqrt {3}} {4} \ times（2r）^ 2 $$ $$ = 6 \ cdot \ sqrt {3} \ cdot r ^ 2 $$
したがって、ボリューム$ = 6 \ cdot \ sqrt {3} \ cdot r ^ 2 $（の高さユニットセル）
これは私が立ち往生しているポイントです。ユニットセルの高さを確認するにはどうすればよいですか？
教科書を検索したところ、高さ$ = 4r \ cdot \ sqrt {\ frac {2} {3}} $であることがわかりました。なぜそうなのか説明していただけますか？
回答
hcpとccpの類似点を使用して試してみましょう。ここで、$ hcp $と$ ccp $は、$ hcp $がABABタイプであるのに対し、$ ccp $がABCABCタイプであるという事実を除いて、同様のラティスを持っていることがわかります。したがって、それらの充填率$（\ phi）$は同じであり、$$ \ phi = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ hcp格子の体積$ = 6 \であることがわかります。 sqrt {3} r ^ 2h $。 hcpには全部で6つの原子があります。したがって、$$ \ frac {6 \ left（\ frac {4} {3} \ right）\ pi r ^ 3} {6 \ sqrt {3} r ^ 2 h} = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$これを単純化すると、hcp格子の高さが得られます$$ h = 4r \ left（\ sqrt {\ frac {2} {3}} \ right）$$
コメント
- 高さなどから体積を評価すると、充填率は等しいことがわかります。あなたの答えは逆に働いています。
答え
ユニットセルの高さを計算するには、四面体のボイドを考えます。六角形の閉じたパッキング配置で。これは、3つの固体の球が互いに接触し、中心点に別の球が積み重なっていると想像できます。インタラクティブバージョンは、このサイトで表示できます。状況は次のようになります。
これらの4つの球の中心を結合すると、四面体が得られます。これは基本的に、底が三角形のピラミッドです。四面体の各エッジが$ a $に等しいと仮定しています。
これで、正三角形の底面（$ \）を持つピラミッド（$ ABCD $）ができました。 Delta BCD $）、最高点（$ A $）から中心（$ G $）の三角形の底辺に垂線を落とします。「私を正しくフォローしている場合は、次のような図になります。
必要なことはすべてここで、長さ$ AG $を計算します。これには、$ \ Delta AGD $のピタゴリアン定理を使用します。
$$ \ begin {align *} AD ^ 2 & = AG ^ 2 + GD ^ 2 \ tag {1} \ end {align *} $$
$ AD = a $であることがわかっていますが、サイド$ GD $は残ります不明ですが、計算は簡単です。ポイント$ G $は、$ \ Delta BCD $の重心です。したがって、長さ$ GD $は$ a / \ sqrt {3} $に等しくなります。最初の方程式の値を差し込むと、$ AG = a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $が得られます。ただし、これはユニットセルの高さの半分であることに注意してください。したがって、必要な高さは$ 2a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $です。
回答
六角形の最密構造では、 $ a = b = 2r $ および
最も近い場合-パック構造では、ユニットセルのベースのコーナーにある原子が接触しているため、 $ a = b = 2 r $ です。計算がより難しいユニットセルの高さ（ $ c $ ）は、 $ c = 2a \ sqrtです。 {\ frac23} r = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ 。
六角形の底辺の端を
そして六角形の高さを等しくします $ h $
球の半径は
に等しい
第1層の中心球は、第2層Bのボイドの真上にあります。
中央の球と2番目のレイヤーBの球が接触しています
つまり、 $ \ Delta PQR $ （等辺三角形）：
$ \ overline {PR} = 2r $ 、 $ QS $を描画します点での接線
$$∴\ text {In} \ Delta QRS \ text {：} \ angle QRS = 30 ^ \ circ、\ overline {SR} = r $$
$$ \ cos30 ^ \ circ = \ frac {\ overline {SR}} {\ overline { QR}} $$
$$ \ overline {QR} = \ frac {r} {\ frac {\ sqrt {3}} { 2}} = \ frac {2r} {\ sqrt 3} $$
$$∴\ overline {PQ} = \ sqrt {\ overline {PR} ^ 2- \ overline {QR} ^ 2} = \ sqrt {4r ^ 2- \ frac {4r ^ 2} {3}} $$
$$ h_1 = \ sqrt {\ frac {8r ^ 2} {3}} = 2 \ sqrt \ frac {2} {3} r $$
$$∴h= 2h_1 = 4 \ sqrt {\ frac23} r $$
したがって、hcparrのパッキング効率の計算では角度、ユニットセルの高さは $ 4r \ sqrt {\ frac {2} {3}} $ と見なされます。
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コメント
- ドットの三角形はどういう意味ですか？
- 角度QRSが30度になるのはなぜですか？