連続確率変数の期待値を計算する方法を学びたいです。期待値は$$ E [X] = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} xf（x）\ mathrm {d} x $$であるようです。ここで、$ f（x）$は確率密度関数です。 $ X $の。
$ X $の確率密度関数が$$ f（x）= \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {-であると仮定します。 x ^ {2}} {2}} $$は、標準正規分布の密度です。
したがって、最初にPDFを接続して、$$ E [X] = \ int_ {を取得します。 -\ infty} ^ {\ infty} x \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x $$ whichかなり厄介な見た目の方程式です。定数$ \ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} $は積分の外側に移動でき、$$ E [X] = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \になります。 int _ {-\ infty} ^ {\ infty} xe ^ {\ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x。$$
ここで立ち往生しています。積分を計算するにはどうすればよいですか？私はこれまで正しくこれを行っていますか？期待値を取得する最も簡単な方法はありますか？
コメント
- 質問のタイトルは誤解を招く恐れがあります。実際、標準正規確率変数の期待値を計算しようとしています。 RVの関数の期待値を計算することもできます。むしろタイトルを付けたいと思います："標準正規分布の期待値を計算する方法。"または"連続確率変数の期待値を計算する方法。"
- @Gu ð mundurEinarssonが修正されました。
- "ここでスタックします。積分を計算するにはどうすればよいですか？" $ -e ^ {-\ frac {x ^ 2} {2}} $の導関数を見つけます。 （いいえ、私は面白くなく、あなたに不必要な忙しい仕事を提案していません;私は致命的に深刻です;ただそれをしてください！）次に、見つけた派生物をじっと見つめます。
回答
もうすぐそこにいます、最後に従ってくださいステップ：
$$ E [X] = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} xe ^ {\ displaystyle \ frac { -x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x \\ =-\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} e ^ { -x ^ 2/2} d（-\ frac {x ^ 2} {2}）\\ =-\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {-x ^ 2/2} \ mid _ {-\ infty} ^ {\ infty} \\ = 0 $$。
または、$ xe ^ {-x ^ 2/2} $が奇関数であるという事実を直接使用できます。積分の限界は対称性です。
コメント
- 対称性の引数は、両方の半分がそれ自体収束している場合にのみ機能します。
- 2行目で何が起こるか説明していただけますか？
- Glen 'コメントが収束していない場合は正しいので、変数の変更は機能しません
- $ d（-\ frac {x ^ 2} {2}）=-xdx $も先頭の負の符号に注意するため、2番目の行は最初の行と同じです。次に、統合のための変数の変更について考えることができます。次に、制限が変更されていないため、変数を元に戻します。または、部分積分を使用することもできます。また、$ \ int_ {a} ^ {b} e ^ y dy = e ^ y \ mid_ {a} ^ {b} $
- 対称性を使用して平均を取得するには、その$を知る必要があることを覚えておいてください。 \ int_0 ^ \ infty xf（x）dx $は収束します-この場合は収束しますが、より一般的には'想定できません。たとえば、対称性の引数は、標準のコーシーの平均が0であると言いますが、'にはありません。
回答
期待値を計算する方法を学び、いくつかの簡単な方法を知りたいので、モーメント母関数（mgf）
$$ \ phi（t）= E [e ^ {tX}]。$$
この方法は機能します特に、分布関数またはその密度が指数関数として与えられている場合に適しています。この場合、「観察した後、実際に統合を行う必要はありません
$$ t ^ 2 / 2- \ left（x –t \ right）^ 2/2 = t ^ 2 / 2 +（-x ^ 2/2 + tx –t ^ 2/2）= -x ^ 2/2 + tx、$$
なぜなら、標準正規密度関数を$ x $で次のように書くからです。 $ C e ^ {-x ^ 2/2} $（値を知る必要のない定数$ C $の場合）、これにより、mgfを次のように書き換えることができます
$$ \ phi（ t）= C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {tx} e ^ {-x ^ 2/2} dx = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {-x ^ 2/2 + tx} dx = e ^ {t ^ 2/2} C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {-（xt）^ 2/2} dx。$$
右側で、$ eに続く^ {t ^ 2/2} $の項では、正規分布の合計確率と平均$ t $および単位分散の積分、つまり$ 1 $が認識されます。したがって
$$ \ phi（t）= e ^ {t ^ 2/2}。$$
正規密度は大きな値で非常に急速に小さくなるため、$ t $の値に関係なく収束の問題はありません。 $ \ phi $は$ 0 $で認識可能に分析されます。つまり、MacLaurinシリーズと同じです
$$ \ phi（t）= e ^ {t ^ 2/2} = 1 +（t ^ 2/2 ）+ \ frac {1} {2} \ left（t ^ 2/2 \ right）^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {k！} \ left（t ^ 2/2 \ right）^ k + \ cdots。$$
ただし、$ e ^ {tX} $は$ tX $のすべての値に対して絶対収束するため、次のように書くこともできます
$$ E [e ^ {tX}] = E \ left [1 + tX + \ frac {1} {2}（tX）^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n！}（tX）^ n + \ cdots \ right] \\ = 1 + E [X] t + \ frac {1} {2} E [X ^ 2] t ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n！} E [X ^ n] t ^ n + \ cdots。 $$
2つの収束べき級数は、それらが項ごとに等しい場合にのみ等しくなります。ここで（$ t ^ {2k} = t ^ n $を含む項を比較）
$$ \ frac {1} {（2k）！} E [X ^ {2k}] t ^ {2k} = \ frac {1} {k！}（t ^ 2/2）^ k = \ frac {1 } {2 ^ kk！} t ^ {2k}、$$
暗黙的
$$ E [X ^ {2k}] = \ frac {（2k）！} { 2 ^ kk！}、\ k = 0、1、2、\ ldots $$
（そして$ X $の奇数乗のすべての期待値はゼロです）。実質的に何の努力もせずに、一度に$ X $のすべての正の積分乗の期待値を得ることができます。
この手法のバリエーションは、$ E [1 /（1-tX）] = E [1 + tX +（tX）^ 2 + \ cdots +（tX）^ n + \ cdots] $、ただし$ X $の範囲が適切に制限されている場合。 mgf（およびその近縁の特性関数 $ E [e ^ {itX}] $）は非常に一般的に便利ですが、次のような分布プロパティの表に示されています。 正規分布のウィキペディアエントリ。