ハイゼンベルク図（自然寸法を使用）：$$ O_H = e ^ {iHt} O_se ^ {-iHt}。 \ tag {1} $$ハミルトニアンが時間に依存しない場合、時間に関して両側の偏導関数をとることができます。$$ \ partial_t {O_H} = iHe ^ {iHt} O_se ^ {-iHt} + e ^ {iHt} \ partial_tO_se ^ {-iHt} -e ^ {iHt} O_siHe ^ {-iHt}。 \ tag {2} $$したがって、$$ \ partial_t {O_H} = i [H、O_H] +（\ partial_tO_s）_H \ ,, \ tag {3} $$ですが、これは多くの教科書に記載されているものと同じではありません。ハイゼンベルクの運動方程式。代わりに、$$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H、O_H] +（\ partial_tO_s）_Hと述べています。 \ tag {4} $$なぜ、一般的に、これは前のステートメントではなく真実なのですか？偏導関数と全導関数を使用することに衒学者であるだけですか？
コメント
- 偏導関数を適用したのはなぜですか？ハイゼンベルグ形式では、状態のケットは時間的に固定されており、演算子は時間とともに変化します。したがって、LHSで演算子の合計時間微分をとることができます。
- 申し訳ありませんが'そこでのロジックを理解できません。ここで、$ O_s $は時間とともに変化することが許可されており、$ O_H $も変化しますが、LHSには合計 時間 導関数があることは非常に明白です。 $ O_H $であり、RHSに部分的 時間 導関数が表示されます。 '両方とも時間的に偏導関数ではないのはなぜですか？
- @ I.E.P。式で。 （2）、左側で、なぜ'が$ \ frac {d \、O_H} {dt} $ではないのですか？
- @IEP、左側では、$ \ frac {d \、O_H} {dt} $を使用する必要があり、全導関数は偏導関数の合計として表すことができます。
- @IEPここで欠けているのは、全微分と偏微分の数学的違いだと思います。左側の$ O_H $は$ t $の関数として、したがって全導関数、右側は関係（1）を介した合成関数として、したがってすべてのコンポーネント関数の偏導関数として$ O_H $。
回答
時間依存性を明示するためのいくつかの定義を使用すると、式（4）を理解できます。次のようにしましょう：
$ O_s $を時間と他のパラメータに応じた演算子とします$ O_s：\ mathbb {R} \ times S \ rightarrow \ mathrm {Op} $、ここで$ S $は他のパラメーターの空間であり、$ \ mathrm {Op} $はヒルベルト空間上の演算子の空間です。$ \ phi：\ mathbb {R} \ times \ mathrm {Op} \ rightarrow \ mathrm {Op} $は、$ \ phi_t（O）= e ^ {iHt} Oe ^ {-iHt} $で与えられるハイゼンベルグ画像の演算子の時間発展を示します。
$（\ partial_t \ phi）_tに注意してください。 （O）= i [H、\ phi_t（O）] $および$ \ partial_O \ phi = \ phi $（$ \ phi $は$ O $で線形であるため）ここで、パラメーター$ p \ in S $を指定します。時間の関数を定義できます：$ O_H：\ mathbb {R} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ with $ O_H（t）= \ phi_t（O_s（t、p））$。関数$ O_H $は1パラメータ1であるため、その総導関数を取ることだけが意味があります：\ begin {align} \ frac {dO_H} {dt}（t）= &（\ partial_t \ phi ）_t（O_s（t、p））+（\ partial_O \ phi）_t \ left [（\ partial_tO_s）（t、p）\ right] \\ = & i [ H、\ phi_t（O_s（t、p））] + \ phi_t \ left [（\ partial_tO_s）（t、p ）\ right] \\ = & i [H、O_H（t）] + e ^ {iHt}（\ partial_tO_s）（t、p）e ^ {-iHt}、 \ end {align}
最初のステップで連鎖律を適用し、他のステップではすでに持っていた同等性を適用しました。
回答
いいえ、偏導関数の誤用に「ただ」衒学者であるだけではありません。式（2）と（3）はまったく間違っています。 @WeinEldが指摘しているように、あなたは単に定義を正しく適用しなかっただけです。 （SHOなどの単純なシステムに対する質問を説明した場合は、悲しみを免れたかもしれません。）
$$ O_H \ equiv e ^ {iHt} O_se ^ {-iHt}、$$したがって、$$ O_S = f（x、p; t）\ qquad \ Longrightarrow \ qquad O_H = f（x（t）、p（t）; t）、$$の場合、$ x（t）= e ^ {iHt } xe ^ {-iHt} $および同様に p の場合。
$ O_H $の時間微分は、偏微分wrtで構成されます。セミコロンの後の t に加えて、ハイゼンベルク図の x と p の流れによる対流導関数、 $$ \ frac {\ partial O_H} {\ partial x（t）} \ dot {x} + \ frac {\ partial O_H} {\ partial p（t）} \ dot {p} = i [H、O_H] = e ^ {iHt}（i [H、O_S]）e ^ {-iHt}。 $$（これを証明してください！あなたがしなかった場合、議論はすべて蒸気です。）
偏導関数は$$ \ frac {\ partial O_H} {\ partial t} = e ^ {iHt} \ fracです。 {\ partial O_S} {\ partial t} e ^ {-iHt} = \ left（\ frac {\ partial O_S} {\ partial t} \ right）_H。 $$（これを$ \ frac {\ partial O_H} {\ partial t} $と表現する人もいます。読者がセミコロンの後の引数のみの明らかな区別を正しく理解することを信頼しますが、この質問によってよく考えてください。確かに、$ O_S $には消失する対流導関数があるため、コメントで提起されているように、$ dO_S / dt = \ partial O_S / \ partial t $、したがって、これは問題ではありません。）
いずれの場合も、2つのピースを組み合わせると、従来の$$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H、O_H] +（\ partial_tO_s）_Hがネットになります。 $$
SHOの$ O_S = tx $、$ H =（p ^ 2 + x ^ 2）/ 2 $などの単純な観測量の明らかな動作を監視します。 位相空間での古典的な回転、$ x（t）= x \ cos t + p \ sin t $、$ p（t）= p \ cos t-x \ sin t $; したがって、$ O_H = tx（t）$です。 したがって、$ dO_H / dt = t p（t）+ x（t）$：それぞれの画像の効率と違いを評価するようになりました。 （$$ dO_H / dt = \ exp（itH）（it [p ^ 2/2、x] + x）\ exp（-itH）= e ^ {it〜 [（x ^ 2 + p ^ 2）など / 2、}〜（tp + x）〜、$$物理学者による “数学者の広告マップ表記の慣習的な回避。）
あなたは S画像をオイラーフレーム、H画像をラグランジュの共動フレームと考えています。