ハイゼンベルク群にはどのような物理的重要性がありますか？

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http://www.math.columbia.edu/~woit/QMbook/qmbook.pdf 第13章、

つまり、「数学者のための量子力学：ハイゼンベルク群とピーター・ウォイトによる「シュレディンガー表現」では、ハイゼンベルク群の重要性が詳細に説明されています。しかし、その物理的重要性は、物理的状況の対称性のグループとしてではありません。したがって、正規の交換関係と有限（ $ n $ ）次元のハイゼンベルク群と言う $ \ mathfrak {H} _n \ left（\ mathbb {R} \ right）$ 。関係 $ \ left [\ mathbf {x}、\、\ mathbf {p} \ right] = i \、\ hbar \、\ mathbf {iのRHSに関するもの有限次元代数の} $ $ \ mathfrak {h} _n \ left（\ mathbb {R} \ right）$ は単位行列ではありません-それは単にリー代数の他のすべてと通勤するものです。正規の転流関係が有限次元のリー代数を参照できないことを指摘したのはヘルマン・ワイルでした。そのような代数では、リー代数 $ \ left [\ mathbf {x}、\ 、\ mathbf {p} \ right] $ （正方行列間）のトレースはゼロですが、単位行列（またはCCRのRHSの場合はスカラー倍数）にはありません。無限次元のヒルベルト空間の演算子に渡す必要があります（ $ eg $ $ p = i \、\ hbar \、d / dx $ ）は、正規の交換関係の完全な実現を見つけます。

有限次元行列HeisenbergLie代数の動作がCCRと根本的に異なることを理解する別の方法は、不確定性原理そのものです。量子状態panclass = “が与えられた場合の2つの非転流観測値 $ \ hat {a}、\ hat {b} $ からの同時測定のRMS不確実性の積math-container “> $ \ psi $ は、正の実数 $ \ frac {1} {2} \ left | \ left < \ psi | c | \ psi \ right > \ right | $ ここで、 $ \ left [\ hat {a}、\ hat {b} \ right] = ic $ （Merzbacher「量子力学」の第3版のセクション10.5を参照）。 $ c $ が有限正方行列であり、ハイゼンベルク代数のように完全な行ランクではない場合、特定の状態があります（ $ c $ “s nullspace）不確実性積を無視できるため、有限次元の正方行列代数はハイゼンベルクの物理的仮定をモデル化できません。

を参照してください。ハイゼンベルク群に関するウィキペディアの記事もあります。

コメント

• 回答へのマイナーコメント（v2）：表示された$のシュレーディンガー表現のサインp $は従来の記号ではありません。