この質問は少し怠惰かもしれませんが、誰かがヒル球の公式の証拠を教えてくれますか？ wikipedia によると、半径$ r $の式は
$$ r \ approx a（1-e）\です。 left（\ frac {m} {3M} \ right）^ {1/3} $$
ここで質量$ m $は、はるかに質量の大きい質量$ M $を周回しています。準主軸$ a $と偏心$ e $。
コメント
- この論文。
- 2つの質量の間にテスト質量を配置し、原点がより大きな質量にあると仮定して、両方の力の大きさが等しい場所を計算しますか？
- @Dave that 'かなりクールな紙（私は'今日何かを成し遂げることを計画していましたが、今は…）、そして'がそこにあると確信しています。 $ R_H = 3 ^ {-1/3} $および"の長さの単位は、係数µ $ {} ^ {によってスケーリングされます。 1/3} $ "しかし、'（1- e ）の取得方法がわかりません
- a（1-e）はペリアストロンなので？
- '実際に派生物を追加したようですウィキペディアページへ-興味深いことに、ウィキペディアページで言及されていないことは、この表面が球形ではないことです。これは、軸上の粒子が失われたときを指します（少なくとも単一のイベント中に-複数の非共鳴イベントが最終的にすべての材料を外側から取り除きます球を残すヒル球の半径）
回答
ヒル球の定義はロッシュローブとは少し異なります。 、ただし、半径はラグランジュ点 L 1 およびL 2 までの距離で概算されます。
角速度のある円運動の場合
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} =-\ omega ^ 2 \ mathbf {r} $$
位置
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} =-\ frac {Gm} { \ left \ | \ mathbf {r} \ right \ | ^ 2} \ hat {\ mathbf {r}} $$
ここで、質量が
subの設定を示す図> 1 < / sub >
これは1次元システムであるため、ベクトルからスカラーに切り替えることができます。重心の定義から、次のようになります。
$$ r_1 = \ left（\ frac {m_2} {m_1 + m_2} \ right ）r $$ $$ r_2 = \ left（\ frac {m_1} {m_1 + m_2} \ right）r $$
重心の周りの
$$ \ omega ^ 2 r_2 = \ frac {G m_1} {r ^ 2} $$
そして、pan class = $ r_1 $ に関する “math-container”> $ r_2 $ は、Keplerの第3法則を示します。
$$ \ omega ^ 2 = \ frac {G \ left（m_1 + m_2 \ right）} {r ^ 3} $$
次に、 L 1 ポイントまでの距離。ここで、一次と二次の重力が組み合わさって、円運動に必要な加速を提供します。円運動の加速度を重力と等しくすると、次のようになります。
$$ \ omega ^ 2 \ left（r_2 –h \ right）= \ frac {G m_1 } {\ left（r –h \ right）^ 2}-\ frac {G m_2} {h ^ 2} $$
そして
$$ \ frac {\ left（m_1 + m_2 \ right）\ left（r_2 –h \ right）} {r ^ 3} = \ frac {m_1} {\ left（r –h \ right）^ 2}-\ frac {m_2} {h ^ 2} $$
次に、これを質量比 $ q = \ frac {m_2} {m_1} $ と相対距離
$$ 1-z \ left（1 + q \ right）= \ left（1-z \ right）^ {-2} -qz ^ {-2} $$
これにより、になります。 $ z $ の五次方程式。一般的な五次方程式には代数解がないため、数値的に解く必要があります。 （私は違いますこれの証明を理解しているふりをするつもりです。
$$ \ begin {aligned} 1 + q & \ approx 1 \\ \ left（1-z \ right）^ {-2} & \ approx 1 + 2z \ end {aligned} $$
2行目は二項近似です。これにより、次のようになります。
$$ 1-z \ approx 1 + 2z-qz ^ {-2} $$
再配置 $ z $ を解くには：
$$ z ^ 3 \ approx \ frac {q} {3} $$
次に、 $ z $ と
$$ h \ approx r \ left（\ frac {m_2} {3 m_1} \ right）^ {1になります/ 3} $$
これは丘の球のサイズの通常の式です。
L 2 の場合、ラグランジュポイントはセカンダリの向こう側にあるため、重力と円運動の方程式は次のようになります。
$$ \ omega ^ 2 \ left（r_2 + h “\ right）= \ frac {G m_1} {\ left（r + h” \ right）^ 2} + \ frac {G m_2} {h “^ 2} $$
ここで、 $ h “$ は、セカンダリからL 2 ポイントまでの距離です。
$ \ oに置き換えますmega $ および
$$ 1 + z “\ left（1 + q \ right）= \ left（1 + z” \ right ）^ {-2} + qz “^ {-2} $$
これも、 $ z” $ <の有理方程式を示します。 / span>ですが、L 1 の場合と同様の近似を行うことができます。
$$ \ begin {aligned} 1 + q & \ upperx 1 \\ \ left（1 + z “\ right）^ {-2} & \ append “\ end {aligned} $$
これにより、次のようになります。
$$ 1 + z” \ approx1-2z ” + qz “^ {-2} $$
変数を単純化して再度代入します：
$$ h” \ upperx r \ left（\ frac {m_2} {3m_1} \ right）^ {1/3} $$
これは円形軌道で機能します。離心率の場合、通常のアプローチは、距離 $ r $ を近地点距離
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ヒル球は、ジョンウィリアムヒル（1812–1879）にちなんで名付けられました。その単純な論理は、3つの物体の存在から得られます（太陽が2番目の質量として地球を持ち、3番目の質量として地球を周回する無視できる質量の衛星であると仮定しましょう）。ここで、ヒル球の半径は次のようになります。衛星が二次質量（この場合は地球）を周回できる最大半径。その軌道がヒルズの半径を超えると、最初の物体（太陽）の重力の影響を受け、2番目の物体の衛星ではなくなります。
ニュートンの方程式を書くことができます。衛星は二次物体と同じ角速度を持っているという考えを使用します。これは、太陽の周りの地球の角速度が太陽の周りの衛星の角速度に等しいということです。 導出に関するデモンストレーションは、ロッシュ限界のデモンストレーションと同様に次のリンクにあります。