短いレートのホーリーモデルに問題があり、自由パラメーターλの値を見つける方法と使用する方法を区別していることを説明してください。将来のレートを予測するためのモデル。
二項ツリーの各ステップのホーリーモデル：$$ \ lambda_tdt + \ sigma \ sqrt dt $$
私はそれを読みました再結合する二項ツリーの各ステップで自由パラメーターを設定するには、状態0のレートを現在のスポットレート（つまり、1か月のスポットレート）に設定し、モデルに接続したときに結果となるラムダの値を見つけます。次のタイムステップの現在のスポットレート（例：状態0で1か月のスポットレートから開始し、1か月のタイムステップを使用して、モデルに接続したときのラムダの正しい値は、現在の2か月のスポットレートなどを生成します）
これは私を混乱させます。ツリーの各ステップのラムダの値を決定したら、ビンでモデルを使用するためにどの入力を変更しますか先物レートを予測するためのオミアルツリー..つまり、1か月、2か月などで1か月のレート？
私の説明が明確でない場合は、ブルースタックマンの本に関する例外を以下に示します。件名。
…モデルが市場と同じ2か月のスポットレートを生成するようにλ1を見つけます。次に、モデルが市場と同じ3か月のスポットレートを生成するようにλ2を見つけます。ツリーが終了するまでこの方法を続けます。
回答
ご存知のとおりHo-Leeモデルは確率微分方程式\ begin {align} dr_t = \ lambda_t \、dt + \ sigma \、dW_t \ end {align}で表されます。二項ツリーを実装するために、オイラー離散化を使用します。 \ begin {align} r_t = r_ {t- \ Delta t} + \ lambda_ {t- \ Delta t} \、\ Delta t + \ sigma \、\ sqrt {\ Delta t} \、Z \ end {align}ここで、 $ Z $は標準の通常のランダム変数です。$ t_0 = 0 < t_1 < … < t $と展開式、離散時間\ begin {align} r_t = r_0 + \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ lambda_ {t_i} + \ sigma \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ \、Z \ end {align}この関係は、短いレートが非確率的ドリフト項のセットとランダム項のセットの合計であることを示しています。したがって、アービトラージなしのゼロクーポン債券価格$ P（t、t + \ Delta t）$は、
\ begin {align} P（0、t_n）= E ^ Q \ left [として記述されます。 exp \ left（-\ Delta t \、\ sum_ {i = 0} ^ {n-1} r（t_i）\ right）\ right] \ end {align}たとえば、時間$ n = 2での債券価格の計算$、次のようになります：\ begin {align} P（0、t_2）= E ^ Q [\ Delta t \、exp（-r_ {t_0} -r_ {t_1}）] = e ^ {-\ Delta t \、 r_ {t_0}} E ^ Q [e ^ {-\ Delta t \、r_ {t_1}}] \ end {align}、つまり\ begin {align} P（0、t_2）= e ^ {-\ Delta t \、r_ {t_0}} \、exp \ left（-\ De lta t \、E ^ Q [r_ {t_1}] + \ frac {1} {2} \ Delta t \、Var ^ Q [r_ {t_1}] \ right）\ end {align}この場合、$ r_t $は正規分布であるため、\ begin {align} \ ln P（0、t_2）=-\ Delta t \、r_ {t_0}-\ Delta t \、r_ {t_0}-\ Delta t \ lambda_0 \、+ \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2（\ Delta t）^ 2 = -2 \ Delta t \、r_ {t_0}-\ lambda_0 \、\ Delta t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2（\ Delta t）^ 2 \ \ end {align}しかし、\ begin {align} \ ln P（0、t_2）= \ Delta t \、[-f（0,0）-f（0、t_1）] \ end {align}次のように書き換えることができます：\ begin {align} -r_ {t_0} -f（0、t_1）=-2r_ {t_0}-\ lambda_0 \ t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} then \ begin {align} \ lambda_ {t_0} = f（0、t_1）-r_ {t_0} + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align}この関係は、Ho-Leeの短いレートのアービトラージモデルを進化させるために必要な再帰的な関係を提供します。短期金利のインプットとして、一連の債券価格とボラティリティの構造を採用しています。したがって、モデルの二項ツリーを表す進化方程式が得られます。
コメント
- ご回答ありがとうございます。'は私の理解レベルを上回っています。簡単に言えば、モデルのポイントは将来のレートをモデル化することだと理解しています。 'モデルが現在のスポットレートを吐き出すように、ツリーの各ステップで自由パラメーターを設定したことを読みました。それがモデルが調整されていることを私たちが知っている方法である場合、将来のレートをモデル化するためにそれを使用できるように、どの入力を変更しますか？