仮説検定で高陽性尖度が問題になるのはなぜですか？

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尖度が高いと、多くの場合、平均からの偏差が小さくなります $ ^ \ ddagger $ -正規分布で見つけるよりも小さい残差..ただし、標準偏差を同じ値に保つには、より多くの大きい残差も必要です。 （残差が小さいほど、平均からの一般的な距離が小さくなるため）。大きな残差と小さな残差の両方をより多く取得するには、「標準サイズ」の残差を少なくします。平均から約1標準偏差離れた残差です。

$ \ ddagger $ 「小ささ」をどのように定義するかによって異なります。単純に大きな残差をたくさん追加して分散を一定に保つことはできません。それを補正するための何かが必要です。ただし、「小さい」という与えられた測定値については、尖度を増やすことなく増やす方法を見つけることができます。その特定の測定値。（たとえば、尖度が高いからといって、自動的にピークが高くなるわけではありません）

尖度が高いほど、分散を一定に保った場合でも、残差が大きくなる傾向があります。

[さらに、場合によっては、小さな残差の集中は、実際には、最大の残差の追加の割合よりも多くの問題を引き起こす可能性があります-あなたが見ているものによっては。]

とにかく、例を見てみましょう。 1サンプルのt検定と10のサンプルサイズを考えます。

t統計量の絶対値が2.262より大きいときにヌル仮説を棄却すると、観測値が独立している場合、同じように正規分布から分布し、仮定された平均が真の母集団平均である場合、5％の確率で帰無仮説を棄却します。

通常よりも尖度が大幅に高い特定の分布を検討します：75％私たちの人口の50％は正規分布から抽出された値を持ち、残りの25％は50倍の標準偏差を持つ正規分布から抽出された値を持っています。

正しく計算した場合、これは尖度に対応します。 12（9の過剰尖度）。結果として得られる分布は、正規分布よりもはるかにピークに達し、裾が重くなります。密度を下の正規密度と比較します。高いピークを確認できますが、左の画像では実際には重い裾を確認できないため、密度の対数をプロットしました。これは、の下部を伸ばしています。画像と上部を圧縮して、山と裾の両方が見やすくなります。

pan class = “を使用して「5％」の1サンプルt検定を実行した場合の、この分布の実際の有意水準math-container “> $ n = 10 $ は0.9％未満です。これはかなり劇的で、電力曲線をかなり大幅に引き下げます。

（また、実質的な効果が見られます。信頼区間の範囲。）

同じクルトシスを持つ異なる分布は、有意水準に異なる影響を与えることに注意してください。

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では、なぜ棄却されるのでしょうか。レートが下がる？これは、テールが重いといくつかの大きな外れ値が発生し、平均よりも標準偏差にわずかに大きな影響を与えるためです。これは、-1から1の間のt値が増えるため、t統計量に影響します。その過程で、臨界領域の値の割合を減らします。

平均が仮定された平均をわずかに上回っている正規分布からのものとかなり一致しているように見えるサンプルを取得した場合、重要な場合は、観測値を平均よりも最も上に移動し、さらに引き離します（つまり、平均を $ H_0 $ よりもさらに大きくします）。 t統計量を小さくします。

お見せしましょう。ここに「サイズ10のサンプル：

 1.13 1.68 2.02 2.30 2.56 2.80 3.06 3.34 3.68 4.23 

$ H_0：\ mu =に対してテストしたいとします。 2 $ （1サンプルのt検定）。ここでのサンプルの平均は2.68であり、サンプルの標準偏差は0.9424であることがわかります。2.282のt統計値が得られます。 5％の検定（p値0.0484）。

ここで、その最大値を50にします。

 1.13 1.68 2.02 2.30 2.56 2.80 3.06 3.34 3.68 50 

明らかに平均値を引き出します。だから、それは以前よりもさらに違いを示すはずですよね？まあ、いや、そうではありません。 t統計量は下がる。現在は1.106であり、p値は非常に大きくなっています（30％近く）。何が起こった？さて、平均を引き上げました（7.257まで）が、標準偏差は15を超えました。

標準偏差は、平均よりも外れ値に少し敏感です。外れ値を入力すると、 1サンプルのt統計量を1または-1に近づける傾向があります。

複数の外れ値の可能性がある場合、ほとんど同じことが起こりますが、反対側にある場合もあります（この場合、標準偏差はさらに大きくなり、平均への影響は1つに比べて減少します）外れ値）、したがって、t統計は0に近づく傾向があります。

同様のことが、正常性を前提とする他の多くの一般的なテストで続行されます。つまり、より高いクルトシスはより重い尾に関連付けられる傾向があります。より多くの外れ値。これは、標準偏差が平均に比べて膨らむことを意味します。そのため、取得したい差異は、テストへの外れ値の影響によって「圧倒」される傾向があります。つまり、低電力です。

コメント

• 非常に明確で精巧な回答をありがとうございました。お時間をいただき、ありがとうございました。
• また、注目に値します。サンプル平均の大規模サンプル分布は、クルトシスに依存しません（したがって、正常性の実際の有意水準-平均の変換を仮定したテストn- >無限大（すべての有限尖度の場合）として、公称レベル（通常は.05）になりますが、分散の検定には同じことが当てはまりません。推定された分散の大規模なサンプル分布は尖度に依存するため、分散の古典的な正規性を仮定した検定の実際の有意水準は、n- >のように名目レベルに収束しません。尖度がゼロと異なる場合は無限大。
• また、尖度が高いからといって、数学的には、平均からの偏差が”小さいことを意味するわけではありません。”確かにわかるのは、テールにもっとあるということだけです。
• これ以上大きな偏差を取得して分散を一定に保つことはできません

i>さらに小さな偏差を加えない限り; ‘分散を一定に保たない場合、新しいスケールに比べて偏差が小さくなります。そうです、尖度を見ると、数学は、尖度が大きいほど小さくなります。

• @Peter Let ‘は$ Zを取ります標準化された$ X $としての$。尖度は$ \ kappa = E（Z ^ 4）$であり、$ \ sqrt {\ kappa-1} = E（Z ^ 2）$は$ \ kappa $で単調です。確率を$ Z $の末尾にさらに移動すると、ある程度の確率が平均に向かって移動する必要があります（または、’が$ \ text {Var}（Z）= 1 $を保持できません）。同様に、確率を$ X $ &の末尾にさらに移動すると、分散が増加し、$ \ mu \ pm k \ sigma $が広くなり、少なくともいくつかの値について残りのディストリビューションの$ k $は、これらの範囲内に収まる傾向があります。新しい$ X $（$ X ‘ $を$ Z ‘ $と言う）を標準化すると、その値はさらに小さくなります。直接的な意味。

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